4 线性表示 定义 给定向量组4：a1,a2,am和向量b,如果 存在一组实数k1,k2,km,使 b=kiai+k2a2++kmam 则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量勖能 由向量组A线性表示
定义 . , , , , , , : , , , , 1 1 2 2 1 2 1 2 由向量组 线性表示 则向量 是向量组 的线性组合 这时称向量 能 存在一组实数 使 给定向量组 和向量 如 果 A b A b b k a k a k a k k k A a a a b m m m m = + ++ ４ 线性表示
定理向量能由向量组4线性表示的充分必要条 件是矩阵A=(a1,a2,am)的秩等于矩阵B=(a1, a2,.,am,b)的秩 定义 设有两个向量组4：a1,a2,am及B:b1, b2,.,b,若B组中的每个向量都能由向量组4A 王王王王王王王 线性表示则称向量组B能由向量组4线性表示 若向量组A与向量组B能相互线性表示则称这 两个向量组等价
定理 , , , ) . ( , , , ) ( , 2 1 2 1 的 秩 件是矩阵 的秩等于矩阵 向 量 能由向量组 线性表示的充分必要条 a a b A a a a B a b A m m = = 定义 . , , . , , , : , , , : , 2 1 2 1 两个向量组等价 若向量组 与向量组 能相互线性表示则称这 线性表示 则称向量组 能由向量组 线性表示 若 组中的每个向量都能由向量组 设有两个向量组 及 A B B A b b B A A a a a B b s m
5 线性相关 定义 给定向量组4：a1,a2,am,如果存在不全 为零的数k1,k2,km,使 kia+k2a2++kmam=0, 则称向量组4是线性相关的否则称它线性无关 定理向量组a1,a2,am线性相关的充分必要 条件是它所构成的矩阵剩=(a1,a2,am)的秩小 于向量个数；向量组线性无关的充分必要条件 是R(A)=m. 王
定义 , . 0, , , , , : , , , , 1 1 2 2 1 2 1 2 则称向量组 是线性相关的 否则称它线性无关 为零的数 使 给定向量组 如果存在不全 A k a k a k a k k k A a a a m m m m + ++ = ５ 线性相关 定理 ( ) . ; ( , , , ) , , , 1 2 1 2 R A m m A a a a a a a m m = = 是 于向量个数 向量组线性无关的充分必要条件 条件是它所构成的矩阵 的秩小 向量组 线性相关的充分必要
定理 (1)若向量组A:a1,a2,am线性相关，则向 量组B:1,a2,am,am+1也线性相关反言之，若 向量组B线性无关则向量组A也线性无关 01j 41j (2)设aj= ,bj= (j=1,2,.,m arj ar+1,i 即向量a;添上一个分量后得到向量b,.若向量
定理 , . : , , , , . , (1) : , , , , 1 2 1 1 2 向量组 线性无关 则向量组 也线性无关 量 组 也线性相关反言之 若 若向量组 线性相关 则 向 B A B a a a a A a a a m m m + 即向量 添上一个分量后得到向量 若向量 设 . (2) , ,( 1,2, , ) 1, 1 1 a b j m a a a b a a a j j r j rj j j rj j j = = = +
组A:a1,M2,am线性无关，则向量组B:b1,b2, .,bm也线性无关反言之，若向量组B线性相关 则向量组A也线性相关 (3)m个n维向量组成的向量组当维数n小于 向量个数m时一定线性相关 (4)设向量组A:a1,a2,·,am线性无关，而 向量组B:a1,a2,am,b线性相关，则向量b必 能由向量组4线性表示，且表示式是唯一的
. , . , , : , , , , : , , 1 2 1 2 则向量组 也线性相关 也线性无关反言之 若向量组 线性相关 组 线性无关 则向量组 A b B A a a a B b b m m . (3) , 向量个数 时一定线性相关 个 维向量组成的向量组当维数 小 于 m m n n , . : , , , , , (4) : , , , , 1 2 1 2 能由向量组 线性表示 且表示式是唯一的 向量组 线性相关 则向量 必 设向量组 线性无关 而 A B a a a b b A a a a m m