《经济应用数学》课程教学资源（PPT课件）第五章 多元函数微分学 5.2 二元函数的极值

极值存在的充分条件若函数f(x,J)在点P(xo,y)及其邻近具有一阶和二阶连续偏导数,且满足f(xo,y)=0, f(xo,yo)=0记 A=fu(xo,yo), B= f,(xo,yo), C= f,(Xo, yo)(1)当 B2-AC<0时,点P(xo,J%)是函数的极值点:(i)若A<O(或C<0),则点P(xo,yo)是函数f (x,)的极大值点;(i)若A>0(或C>O),则点 P(xo,%)是函数f(x,y)的极小值点;(2)当 B2-AC>0时,点P(xo,J)不是函数f(x,y)的极值点;(3)当 B2-AC=0时,不能判定点P(xo,Jo)是否为函数f (x,y)的极值点

极值存在的充分条件 若函数 在点 及其邻近具有一阶和二阶连 续偏导数,且满足 f (x, y) ( , ) 0 0 0 P x y 记 ( , ), 0 0 A f x y = xx ( , ), 0 0 B f x y = xy ( , ). 0 0 C f x y = yy (1) 当 0 时,点 是函数的极值点: 2 B −AC ( , ) 0 0 0 P x y (i) 若 A  0 (或 C0 ),则点 ( , ) 是函数 的极大值点; 0 0 0 P x y f (x, y) (ii) 若 A0 (或 C0 ),则点 ( , ) 是函数 的极小值点; 0 0 0 P x y f (x, y) (2) 当 0 时,点 不是函数 的极值点; 2 B −AC ( , ) 0 0 0 P x y f (x, y) (3) 当 时,不能判定点 是否为函数 的极值点. 0 2 B −AC= ( , ) 0 0 0 P x y f (x, y) ( , ) 0, f x x0 y0 = ( , ) 0. f y x0 y0 =

求二元函数文f(x,y)极值的程序(1)确定驻点：求(2)算出A、B、(3)判定:按 B2-AC二元函数f (x,y)C的值:的符号判定驻点是否的偏导数,解方程组为极值点；求f(x,y) 的二[f(x,y)=0若是,再按A(或C)的阶偏导数,并计算,(x,y)=0符号判定是极大值点其在驻点处A确定函数的全还是极小值点B、C的值;部驻点；(4)求出函数f(x,y)的极值

(4) 求出函数 的极值. f (x, y) 求二元函数 f (x, y) 极值的程序 (1)确定驻点: 求 二元函数 的偏导数,解方程组 f (x, y) (2)算出 、 、 的值: A B C 求 的二 阶偏导数,并计算 其在驻点处 、 、 的值； f (x, y) A B C 为极值点; (3)判定: 按 B2 − AC 的符号判定驻点是否 若是,再按 (或 )的 符号判定是极大值点 还是极小值点. A C    = = ( , ) 0. ( , ) 0, f x y f x y y x 确定函数的全 部驻点;

练习1 求函数f(x,y)=y3—x2+6x-12y+5的极值.解(1)求函数的偏导数,并解方程组确定驻点.由f(x,Jy)=-2x+6=0,得驻点(3,2)和(3,-2)J(x,J)=3y2-12=0.(2)算出二阶偏导数在驻点的值．因fu(x,y)=-2, f(x,y)=0, Jy(x,y)=6y.对于点(3,2): A=fx(3,2)=-2, B= fx(3,2)=0C= fu(3,2)=6.对于点(3,-2):A=f(3,-2)=-2, B=f,(3,-2)=0C= fw(3,-2)=-6

练习1 解 (1)求函数的偏导数,并解方程组确定驻点. 求函数 ( , ) 6 12 5 3 2 f x y = y −x + x− y+ 的极值. 由    = − = =− + = ( , ) 3 12 0. ( , ) 2 6 0, 2 f x y y f x y x y x 得驻点 (3,2) 和 (3,−2). (2) 算出二阶偏导数在驻点的值. 因 f (x, y)=−2, xx f (x, y)=0, xy f (x, y) 6y. yy = 对于点 (3,2): = (3,2)=−2, xx A f = (3,2)=0, xy B f = (3,2)=6. yy C f 对于点 (3,−2): = (3,−2)=−2, xx A f = (3,−2)=0, xy B f = (3,−2)=−6. yy C f