从而有 ∑mAy,S(5,y)=1()∑M ∑∑mAx≤∑()Axs∑∑M4yAr =1j=1 注意到当mxx,4y}→0时,上面不等式的两端都趋向于( x, y)dxdy.而由定积分 的定义知∑()Ax趋于∫()d,定理得证 显然,当z=f(x,y)在D=[a,b×[c,d]可积,且对任意的y∈lc,d],(y)= 「。f(x,y)t存在时,我们有 ∫/(xy)bdp=d∫( x, y)dx 特别地,当z=f(x,y)在D=[a,b]×[c,d]连续时,我们有 f(x, y)dxdy= dx f(x,y)dy= dyl f(x,y)dx 下面我们进一步讨论夹在两条平行于坐标轴的直线之间的区域的二重积分的计算问题 定理2:设D=(xy)a≤x≤b,9(x)≤y≤q(x),其中1(x)与92(x)在[ab连 续.∫(x,y)在D可积,且对任意的x∈[a,b],l(x) f(x,y)dy存在.则 1(x) f(r, y)dxdy= dx f(x, y)dy 证明:任取一矩形D1=[a,b]×[c,d],使得DcD1.定义 f(x,y),(x,y)∈D (x,y) (x,y)∈D1\D 由二重积分的性质知f(x,y)在D1可积,且对任意的x∈a,b ,()=S/(x, xdy -( e Soit +'o)/(ex, y)dy=1(x)
6 从而有 å ò å = = D £ = £ D m j i ij j d c i m j ij j m y f y dy I M y 1 1 (x , ) (x ) 及 åå å åå = = = = = D D £ D £ D D n i m j ij j i n i i i n i m j ij j i m y x I x M y x 1 1 1 1 1 (x ) . 注意到当max{ , } 0 1 1 D D ® £ £ £ £ i j j m i n x y 时, 上面不等式的两端都趋向于 òò D f (x, y)dxdy . 而由定积分 的定义知å= D n i i xi I 1 (x ) 趋于 ò b a I(x)dx . 定理得证. 显然, 当 z = f ( x, y) 在 D = [a,b]´ [c, d ] 可积, 且对任意的 y Î[c, d] , I( y) = ò b a f (x, y)dx 存在时, 我们有 òò ò ò = b a d c D f (x, y)dxdy dy f (x, y)dx . 特别地, 当z = f ( x, y) 在 D = [a,b]´ [c, d ]连续时, 我们有 òò ò ò ò ò = = b a d c d c b a D f (x, y)dxdy dx f (x, y)dy dy f (x, y)dx . 下面我们进一步讨论夹在两条平行于坐标轴的直线之间的区域的二重积分的计算问题. 定理 2: 设 {( , ) , ( ) ( )} 1 2 D = x y a £ x £ b j x £ y £ j x , 其中 ( ) 1 j x 与 ( ) 2 j x 在[a, b]连 续. f (x, y) 在 D 可积, 且对任意的x Î[a, b] , ò = ( ) ( ) 2 1 ( ) ( , ) x x I x f x y dy j j 存在. 则 òò ò ò = ( ) ( ) 2 1 ( , ) ( , ) x x b a D f x y dxdy dx f x y dy j j . 证明: 任取一矩形 [ , ] [ , ] D1 = a b ´ c d , 使得D Ì D1 . 定义 î í ì Î Î = 0, ( , ) \ . ( , ), ( , ) , ( , ) ~ x y D1 D f x y x y D f x y 由二重积分的性质知 ( , ) ~ f x y 在 D1可积, 且对任意的x Î[a, b] , ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 I x f x y dy f x y dy I x d x x x x c d c ÷ = ø ö ç è æ = = + + ò ò ò ò j j j j
由定理1,我们有 (xy)dd=7(xy)d=丁!xy dx f(x, y)dy 定理证毕 如果区域D=(xy)e≤y≤d,v/(y)≤x≤v(y),其中v{(y)与v2(y)是[dl 上的连续函数f(x,y)在D可积,且对任意的y∈c,d,l(y)=「购(x,y存在 则 /(xy)dd=丁小(xy 若一个区域能分成若干个以上我们讨论过的区域,则二重积分的计算即可归结为定积 分的计算 例:求y4x2-y2dxd,其中D是由y=0,y=x和x=1所围成的区域 解:j∫y4x2-ydoh=y4x2-yh + 2x- arcsin dx= 显然,以上积分也可以化为[d[√4x2-y2dx.但读者不难发现如果采取这种积分 顺序,计算是十分复杂的.由此可见,积分顺序的选取对积分的计算有很大的影响 例2:求由z=xyz=x+y,x+y=1,x=0,y=0所围立体的体积 解:设D=(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1-x,则此立体的体积可看为底为D的两个曲 顶分别为z=x+y及z=xy的柱体的体积之差 ∫kx+y)-x)dp= 例3:用两种不同的顺序将二重积分I=「f(x,y)dxd化为累次积分,其中D是由 y=0,y=x3,x+y=2所围 7
7 由定理 1, 我们有 ( , ) . ( , ) ~ ( , ) ~ ( , ) ( ) ( ) 2 1 1 ò ò òò òò ò ò = = = x x b a d c b a D D dx f x y dy f x y dxdy f x y dxdy dx f x y dy j j 定理证毕. 如果区域 {( , ) , ( ) ( )} 1 2 D = x y c £ y £ d y y £ x £y y , 其中 ( ) 1 y y 与 ( ) 2 y y 是[c, d] 上的连续函数. f (x, y) 在 D 可积, 且对任意的 y Î[c, d] , ò = ( ) ( ) 2 1 ( ) ( , ) y y I y f x y dx y y 存在. 则 òò ò ò = d c y y D f x y dxdy dy f x y dx ( ) ( ) 2 1 ( , ) ( , ) y y . 若一个区域能分成若干个以上我们讨论过的区域, 则二重积分的计算即可归结为定积 分的计算. 例 1: 求òò - D x y dxdy 2 2 4 , 其中D 是由 y = 0, y = x 和 x =1所围成的区域. 解: òò ò ò - = - 1 0 0 2 2 2 2 4 4 x D x y dxdy dx x y dy . 2 3 3 3 1 2 3 3 2 4 2 arcsin 2 1 0 2 1 0 0 2 2 2 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = + ú û ù ê ë é = - + ò ò = = p p x dx dx x y x y x y y y x 显然, 以上积分也可以化为 ò ò - 1 0 1 2 2 4 y dy x y dx . 但读者不难发现如果采取这种积分 顺序, 计算是十分复杂的. 由此可见, 积分顺序的选取对积分的计算有很大的影响. 例 2: 求由z = xy, z = x + y, x + y = 1, x = 0, y = 0 所围立体的体积. 解: 设D = {(x, y) 0 £ x £1, 0 £ y £1- x}, 则此立体的体积可看为底为 D 的两个曲 顶分别为 z = x + y 及 z = xy的柱体的体积之差. [ ] [ ] 27 4 ( ) ( ) 1 0 1 0 = + - = + - = òò ò ò -x D V x y xy dxdy dx x y xy dy . 例 3: 用两种不同的顺序将二重积分 òò = D I f (x, y)dxdy化为累次积分, 其中 D 是由 0, , 2 3 y = y = x x + y = 所围
解:如果先对y积分,则上限函数是分段函数,因此有 fo arh f(x, y)dy+dr f( dyl f(x, y)dx 例4:计算积分I=[dx N i sin y dy 解:由于皿y没有初等原函数,所以我们不能直接计算设D是由y=x和y=√x 在第一象限所围成的区域,则是z=sy在D的二重积分从而我们有 I=ldy dx 由本题可知正确选择积分顺序的重要性 32化三重积分为累次积分 类似于二重积分的讨论,我们有以下三重积分的计算方法 设空间闭区域V是由xy平面的可求面积的闭区域上定义的两块曲面所确定的,即 ={(x,y)(x,y)∈D,q(x,y)≤=≤o(xy)} 其中φ1(x,y)及φ2(x,y)在D连续,f(x,y,z)在V可积,且对任意的(x,y)∈D, (x,y) f(x,y, =)d= 存在.则 (x)d=hdm”(xy,k 如果空间区域V是介于两个平面之间,即 ={(x,y:)c≤≤d,(xy)∈D(=) 其中D(=)是平面=二与V的截面,且可求面积.f(x,yz)在V可积,且固定z时在 D(二)二重可积,则 f(x,y, =dxdydx= d=ll f(x, y, =)dxdy D(=) 8
8 解: 如果先对 y 积分, 则上限函数是分段函数, 因此有 ò ò ò ò ò ò - - = = + 1 0 2 2 1 2 0 1 0 0 3 1 3 ( , ) . ( , ) ( , ) y y x x dy f x y dx I dx f x y dy dx f x y dy 例 4: 计算积分 ò ò = 1 0 x sin x dy y y I dx . 解: 由于 y sin y 没有初等原函数, 所以我们不能直接计算. 设 D 是由 y = x 和 y = x 在第一象限所围成的区域, 则I 是 y y z sin = 在 D 的二重积分. 从而我们有 ( ) 1 sin 1 sin 1 sin 0 2 1 0 2 = = - = - ò ò ò y y dy y y dx y y I dy y y . 由本题可知正确选择积分顺序的重要性. 3.2 化三重积分为累次积分 类似于二重积分的讨论, 我们有以下三重积分的计算方法. 设空间闭区域V 是由 xy平面的可求面积的闭区域上定义的两块曲面所确定的, 即 {( , , ) ( , ) , ( , ) ( , )} 1 2 V = x y z x y Î D j x y £ z £ j x y . 其中 ( , ) 1 j x y 及 ( , ) 2 j x y 在 D 连续, f (x, y,z) 在V 可积, 且对任意的( x, y) Î D , ò = ( , ) ( , ) 2 1 ( , ) ( , , ) x y x y I x y f x y z dz j j 存在. 则 òòò òò ò = ( , ) ( , ) 2 1 ( , , ) ( , , ) x y x y V D f x y z dxdydz dxdy f x y z dz j j . 如果空间区域V 是介于两个平面之间, 即 V = {(x, y,z) c £ z £ d, (x, y) Î D(z)}, 其中 D(z) 是平面 z = z 与V 的截面, 且可求面积. f (x, y,z) 在V 可积, 且固定 z 时在 D(z) 二重可积, 则 òòò ò òò = ( ) ( , , ) ( , , ) D z d c V f x y z dxdydz dz f x y z dxdy
例1计算三重积分/=(x+y+)d,其中:++s1 解:从积分区域的对称性及函数的奇偶性可以看出 dxdydz xcdxdyd==l ycdxdyd-=0 所以 ∫(x2+y2+=) )dxdydz 我们先计算∫yxdh.注意到平面x=x与的截面D(x)为 这个椭圆的面积为mb1-x1,我们有 [3x'dxdyd==r'arjdyde I rbcx 1- dx=a'bc 类似地我们有 y dxdyd==-gtab'c 及 前yd=imb 所以 I=tabc(a +b+c) 例2计算重积分=(x+y+)ddhh,其中V是由曲面2z=x2+y2与 x2+y2+z2=3所围成的区域 解:如图,两曲面的交线为z=1平面上的 圆x2+y2=2.由对称性 [S xdxdyd==[J ydxdydE=0 所以
9 例 1: 计算三重积分 òòò = + + V I x y z dxdydz 2 ( ) , 其中 : 1 2 2 2 2 2 2 + + £ c z b y a x V . 解: 从积分区域的对称性及函数的奇偶性可以看出 = = = 0 òòò òòò òòò V V V xydxdydz xzdxdydz yzdxdydz , 所以 òòò = + + V I (x y z )dxdydz 2 2 2 . 我们先计算 òòò V x dxdydz 2 . 注意到平面x = x 与V 的截面 D(x) 为 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 £ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - a x c z a x b y , 这个椭圆的面积为 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - 2 2 1 a x pbc , 我们有 . 15 4 1 3 2 2 2 ( ) 2 2 dx a bc a x bcx x dxdydz x dx dydz a a D x a a V p = p ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = - = ò òòò ò òò - - 类似地我们有 y dxdydz ab c V 2 3 15 4 = p òòò 及 . 15 2 4 3 y dxdydz abc V = p òòò 所以 ( ). 15 4 2 2 2 I = pabc a + b + c 例 2: 计算重积分 òòò = + + V I (x y z)dxdydz , 其中 V 是由曲面 2 2 2z = x + y 与 3 2 2 2 x + y + z = 所围成的区域. 解: 如图, 两曲面的交线为 z = 1平面上的 圆 2 2 2 x + y = . 由对称性 = = 0 òòò òòò V V xdxdydz ydxdydz . 所以 z 3 1 O 2 y x