《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第八章 多元函数微分法及其应用 8-4 多元复合函数的求导法则

例1 设z=uv+sint，而u=et， =cost,dz.求全导数dtOz dyaz dz_zdu解+atdt QudtOvdt=vet-usint+cost= et cost - et sint + cost= e'(cost - sint) + cost.经济数学微积分

例 1 设 z = uv + sint，而 t u = e ， v = cost， 求全导数 d d z t . 解 d d d d d d z z u z v z t u t v t t    =  +  +    ve u t t t = − sin + cos e t e t t t t = cos − sin + cos e (cost sin t) cost. t = − +

例2若可微函数f(x,J)对任意正实数满足f(ax,ay)= a*f(x,y)则称f(x,y)为k次齐次函数.证明k次齐次函数满足方程afaf.y)xaxay证设u=x,v=y,则由已知条件有等式f(u,v)=af(x,y)上述等式左边可以看作以u，V为中间变量为自变量的函数.等式两端对求导数，得经济数学微积分

例2 若可微函数 对任意正实数 满足 则称 f x, y ( ) 为k 次齐次函数.证明k 次齐次函数 f x, y ( )  ( ) ( ) k f x, y f x, y ,    = 满足方程 ( ) f f x y kf x, y . x y   + =   证 设 u x,v y, = =   则由已知条件有等式 ( ) ( ) k f u,v f x, y =  上述等式左边可以看作以 u,v 为中间变量  为 自变量的函数. 等式两端对 求导数，得

afdudvafkak-if(x,y),+OvdadaQu即afafkak-f(x,y),x+yOvQu上式对任意正实数都成立，特别取=1，即得证所证等式afafkf (x,y)7x+avQu微积分经济数学

即 ( ) k 1 f du f dv k f x, y , u d v d      − + =   ( ) k 1 f f x y k f x, y , u v    − + =   得证所证等式 上式对任意正实数  都成立，特别取  = 1 , 即 ( ) f f x y kf x, y . u v   + =  

2.复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 如果u=d(x,y)及v=y(x,y)都在点(x,y)具有对x和y的偏导数,且函数z=f(u,v)在对应点(u,V)具有连续偏导数，则复合函数z=f[d(x,y),y(x,y)I在对应点(x,y)的两个偏导数存在，且可用下列公式计算OzOz OuOzOvQz.vOz OudzOu QyOv QyayOu axOv axax经济数学微积分

定理 2 如果u = (x, y)及v = ( x, y)都在点 (x, y)具有对x和 y的偏导数，且函数z = f (u,v) 在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数 z = f[(x, y),(x, y)]在对应点(x, y) 的两个 偏导数存在，且可用下列公式计算 2.复合函数的中间变量均为多元函数的情形 y v v z y u u z y z     +     =   x v v z x u u z x z     +     =  

链式法则如图示OzOz.OzQuOv+avaxaxQuaxOzazazduavayduayaa经济数学微积分

u v x z y 链式法则如图示 =   x z    u z x u      + v z , x v   =   y z    u z y u      + v z . y v  