可以同样推出,若f(x,y)在D=[ab×,d4上可积,且对所有 yEIc, d,积分(xydx都存在,则f(xy)先对x,再对y的累次积分 ∫dyf(x,ydx也存在,且成立 f(x, y)dxd y f(x, y)dx 特别地有:设一元函数f(x)在闭区间[a,b上可积,g(y)在闭区 c,d]上可积。则成立 f(x)g()dxd y f(x)g(y)dy dx La, bkx[e f(x)li g(y)dy]dx= f(x)dx. g(y)d y
特别地有：设一元函数 xf )( 在闭区间 ba ],[ 上可积， yg )( 在闭区间 dc ],[ 上可积。则成立 ∫∫ × ],[],[ dd)()( dcba yxygxf ∫ ∫ ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ = ba dc dd)()( xyygxf ∫ ∫ ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ = ba dc dd)()( xyygxf ∫ ∫ = ⋅ ba dc d)(d)( yygxxf 。 可以同样推出，若 f xy (,) 在 D = [, ] [, ] ab cd × 上可积，且对所有 y cd ∈[, ]，积分∫ba d),( xyxf 都存在，则 f xy (,) 先对 x，再对 y 的累次积分 ∫ ∫ dc ba d),(d xyxfy 也存在，且成立 f ( , )d d xy x y ∫∫ D = ∫ ∫ dc ba d),(d xyxfy
例13.2.1计算柱面 x2+z2=R2与平面y=0和 y=a(a>0)所围立体的体 x +2 积 y 解由对称性,所求立体 的体积v是该立体在第一卦 图13.22 限部分的体积的4倍。而它 在第一卦限的的部分是以曲面z=R2-x2为顶,以x平面上区域 D=[0,R×[0a为底的曲顶柱体。因此 V=4 VR2-x2 dxd y dx√R2-x2dy=4a√R2-x2dx=amR2
例 13.2.1 计算柱面 x z R 22 2 + = 与平面 y = 0和 y = a a( ) > 0 所围立体的体 积。 解 由对称性，所求立体 的体积V 是该立体在第一卦 限部分的体积的 4 倍。而它 在第一卦限的的部分是以曲面 22 −= xRz 为顶，以 xy平面上区域 D = [0, ] [0, ] R a × 为底的曲顶柱体。因此 ∫∫ −= D 4 dd yxxRV 22 ∫ ∫ ∫ = =− π=− R R a RaxxRayxRx 0 2 0 22 0 22 d4 4d d 。 z 222 =+ Rzx a y x 图 13.2.2 o