利用定积分中的结论,即知此曲顶柱体的体积为 V= A(x)dx f(x, y)dy dx C((xy)dydx称为/x,y先对y,再对的累次积分,习惯上写成 faxf(xy)dy,因此有等式 ∫/xy)ddy=rd(x,ydy
利用定积分中的结论，即知此曲顶柱体的体积为 ∫ = b a d)( xxAV ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = b a d c dd),( xyyxf 。 ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ b a d c dd),( xyyxf 称为 f xy (,) 先对 y ，再对 x 的累次积分，习惯上写 成 ∫ ∫ b a d c d),(d yyxfx ，因此有等式 f ( , )d d xy x y ∫∫ D = ∫ ∫ b a d c d),(d yyxfx
这个几何方法提示我们:重积分可以通过累次积分来计算。 定理13.2.1设二元函数f(x,y)在闭矩形D=[a,bx[c,上可积。 若积分 h(x)= f(x, y)d y 对于每个x∈[ab存在,则M(x)在[a,b上可积,并有等式 f(x,y)dxdy= h(x)dx f(x,y)dy dx= dx f(x,y)dy
这个几何方法提示我们：重积分可以通过累次积分来计算。 定理 13.2.1 设二元函数 yxf ),( 在闭矩形D = [, ] [, ] ab cd × 上可积。 若积分 xh )( = ∫dc d),( yyxf 对于每个 ∈ bax ],[ 存在，则 xh )( 在 ba ],[ 上可积，并有等式 f ( , )d d xy x y ∫∫ D = ∫ba d)( xxh ∫ ∫ ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ = ba dc dd),( xyyxf = ∫ ∫ ba dc d),(d yyxfx
证在[a,b中插入分点 <x,<…<x 并记Ax1=x1-x1(i=12,…,n)。显然只要证明 im∑()Ax,=(x, eddy D 这里为x1x中任意一点,为所有Ax的最大者。 再在[c4中插入分点 C=y<y1<…<ym=d, 并记y=y-y(j=12…m)。过[a和[d上的这些分点分别作 平行于坐标轴的直线将D分成许多小矩形(这是D的一个划分),记 x1,x]×[y1,y,1=1,2,…,mj=12,…,m; m,= inf ff(x, y)), M sup f(x, y)) (x,y)∈D (x,y)∈D
证 在[,] a b 中插入分点 ax x x b = 0 1 < <"< n = ， 并记Δ −= iii −1 xxx （ = ",,2,1 ni ）。显然只要证明 ∑ =Δ = → n i ii xh 1 0 ξ )(limλ f xy x y ( , )d d ∫∫D ， 这里ξ i 为 ],[ 1 ii xx − 中任意一点，λ 为所有Δxi的最大者。 再在 dc ],[ 中插入分点 dyyyc = < 10 < " < m = ， 并记Δ −= jjj −1 yyy （ = ",,2,1 mj ）。过 ba ],[ 和 dc ],[ 上的这些分点分别作 平行于坐标轴的直线将D分成许多小矩形（这是D的一个划分），记 1 1 [ , ][ , ] ij i i j j x x y y D = − − × ， = " = ",,2,1;,,2,1 mjni ； (,) inf { (, )} ij x y ij m f x y ∈ = D ， (,) sup { (, )} ij x y ij M f x y ∈ = D
由于∈[x,x],所以 ∑m2y≤M5)=∑1(5,ydys∑My,1=12…,n 将这些不等式分别乘以Ax,再把它们逐个加起来就得 ∑∑mAx4y≤∑s∑∑M△x△y° i=l j 不等式的左右两端正是f(x,y)在所作划分上的 Darboux小和与大 和,由于f(x,y)在D上可积,当所有Ax,4y都趋于零时,这个不等式 两端都趋于 f(x, y) y 由极限的夹逼性,即得到 广Mx)dx=mn∑M5Ax=J( x,y)dxdy
由于 ],[ 1 iii xx ξ ∈ − ，所以 ∑ ∑∫ ∑ = = = =≤Δ Δ≤ − m j jij m j y y i i m j jij hym yMyyf j j 1 1 1 1 ξ )( ξ d),( ， = ",,2,1 ni 。 将这些不等式分别乘以Δxi，再把它们逐个加起来就得 ∑∑ ∑ ∑∑ = = = = = ≤Δ≤ΔΔ ΔΔ n i m j jiij n i ii n i m j jiij xhyxm yxM 1 1 1 1 1 ξ )( 。 不等式的左右两端正是 yxf ),( 在所作划分上的 Darboux 小和与大 和，由于 yxf ),( 在 D上可积，当所有 ji Δ ,Δyx 都趋于零时，这个不等式 两端都趋于 f ( , )d d xy x y ∫∫ D 。 由极限的夹逼性，即得到 ∫ba d)( xxh = ∑ =Δ = → n i ii xh 1 0 ξ )(limλ f ( , )d d xy x y ∫∫D
可以同样推出,若f(x,y)在D=[ab×,d4上可积,且对所有 yEIc, d,积分(xydx都存在,则f(xy)先对x,再对y的累次积分 ∫dyf(x,ydx也存在,且成立 f(x, y)dxd y f(x, y)dx
可以同样推出，若 f xy (,) 在 D = [, ] [, ] ab cd × 上可积，且对所有 y cd ∈[, ]，积分∫ba d),( xyxf 都存在，则 f xy (,) 先对 x，再对 y 的累次积分 ∫ ∫ dc ba d),(d xyxfy 也存在，且成立 f ( , )d d xy x y ∫∫ D = ∫ ∫ dc ba d),(d xyxfy