若F(x)是,f(x)的原函数,引入记号F(+oo)= lim F(x);F(-0)= lim F(x)X-8x→+8则有类似牛一莱公式的计算表达式：+8。= F(+o)-F(a)Jt° f(x)dx = F(x)b[ f(x)dx= F(x)= F(b)- F(-80)18+8_-° f(x)dx = F(x)-00 = F(+)- F(-80)
若F x f x ( ) ( ) , 是 的原函数 引入记号 ( ) lim ( ) ; x F F x → + + = ( ) lim ( ) x F F x → − − = 则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 : ( )d a f x x + = F x( ) a + = + − F F a ( ) ( ) ( )d b f x x − b − = − − F b F ( ) ( ) f x x ( )d + − + − = + − − F F ( ) ( ) = F x( ) = F x( )
1例2证明反常积分dx当p>1时收敛，一1xp当p≤1时发散.(第一类p积分)证 (1) p=1,d=1x=[nx1r+0,?x+0, p<11+80D+8(2) p ± 1, [t*dx =tpp>1-p-1因此当p>1时反常积分收敛，其值为p-1当p≤1时反常积分发散
证 (1) p = 1, + 1 1 dx x p + = 1 1 dx x + = 1 ln x = +, (2) p 1, + 1 1 dx x p + − − = 1 1 1 p x p − + = , 1 1 1 , 1 p p p 因此当 p 1时反常积分收敛，其值为 1 1 p − ； 当 p 1时反常积分发散. 1 1 2 1 1 ( ) p dx p x p p + 例 证明反常积分 当 时收敛， 当 时发散.第一类 积分
+8例3证明反常积分e-pxdx,当p>0时收敛当p≤0时发散证：当p=0时，e-px dx=dx=+80-ape+8opxp>O+8当p￥0时e-pxdxp2p<08,即当p>0时收敛，当p≤0时发散
证: 0 px a p e dx + − 当 时 , px a e p + − = − = − , 0 , 0 p p p e ap 3 0 0 px a e dx p p + − 例 证明反常积分 ,当 时收敛， 当 时发散. 0 px a p e dx + − = 当 时 , a dx + = = + 即当p p 0 0 时收敛，当 时发散
te-pt dt (p> 0)例4.计算反常积分解:8原式=e-pidtp1+8-pt2pJo2p
例4. 计算反常积分 0 d ( 0). p t t e t p + − 解: 0 0 1 d pt pt t e e t p p + + − − = − + 原式 2 0 1 p t e p + − = − 2 1 p =
xdx思考:[-0对吗?+8xdx= = In(1 + x2分析：原积分发散！[1+x"2注意：对反常积分，只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误
思考: 2 d 0 ? 1 x x x + − = + 对吗 分析: 2 2 d 1 ln(1 ) 1 2 x x x x + + − − = + + 原积分发散 ! 注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质,否则会出现错误