第六节高阶线性微分方程 化为关于.的方程，i=Cd, 故有 LCCduc e=t d t2 dt 令B= R 1 1 ,00= LC 串联电路的振荡方程： duc+uc= sin ot. dt2 LC 如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得 duc+2 dt2 duc+o4。=0 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第六节 高阶线性微分方程 , 1 , 2 0 L LC R = = sin . d d 2 d d 2 2 0 2 t LC E u t u t u m C C C + + = 串联电路的振荡方程: 2 2 d d t u LC C t u RC C d d + + uC E sin t . = m 化为关于 uc 的方程, 故有 如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得 0 . d d 2 d d 2 2 0 2 + + c = C C u t u t u 令
第六节高阶线性微分方程 例1和例2虽然是两个不同的实际问题，但在求解时 都要解一个形式相同的微分方程： 要+m张ar=a 上述方程称为二阶线性微分方程.当fx)≡0时，叫 做齐次的；否则叫做非齐次的. n阶线性微分方程的形式是： y()+a(x)y-+.+a(x)y'+a,(x)y=f(x). 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第六节 高阶线性微分方程 例1和例2虽然是两个不同的实际问题，但在求解时 都要解一个形式相同的微分方程： ( ) ( ). d d ( ) d d 2 2 Q x y f x x y P x x y + + = 上述方程称为二阶线性微分方程. 当 f (x) 0 时，叫 做齐次的；否则叫做非齐次的. n 阶线性微分方程的形式是： ( ) ( ) ( ) ( ). 1 ( 1) 1 ( ) y a x y a x y a x y f x n n n n + + + − + = −
第六节高阶线性微分方程 二、线性微分方程解的结构 1.齐次线性微分方程解的结构 定理1如果函数y心)与y2)是二阶齐次线性方程 y"+P(x)y'+Q(x)y=O 的两个解，那么 y=Cy(x)+C22(x)(C1,C2是任意常数) 也是该方程的解。 证明之 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第六节 高阶线性微分方程 二、 线性微分方程解的结构 1. 齐次线性微分方程解的结构 定理1 如果函数 y1 (x) 与 y2 (x) 是二阶齐次线性方程 y + P(x)y +Q(x)y = 0 的两个解，那么 ( ) ( ) 1 1 2 2 y =C y x +C y x (C1 , C2 是任意常数) 也是该方程的解. 第六节 高阶线性微分方程 证明 定理1 y1 (x) 与 y2 (x) 是 y + P(x) y + Q(x) y = 0 的解， 那么 ( ) ( ) 1 1 2 2 y = C y x +C y x (C1 , C2 是任意常数)也是解. 由已知可得 ( ) ( ) 0 , (1) y1 + P x y1 + Q x y1 = ( ) ( ) 0 , (2) y2 + P x y2 + Q x y2 = (1) C1 + (2) C2 ，得 ( ) ( )( ) ( )( ) 0 . C1 y1 +C2 y2 + P x C1 y1 +C2 y2 + Q x y1 + y2 = 这就说明 ( ) ( ) 1 1 2 2 y = C y x +C y x 也是方程的解. 证毕