部分习题参考答案 习题一 1.(1)s=3,奇排列： (2)5=9,奇排列： （3)5=m+》,当n=4k4k.1时，偶排列，当n=4h.24秋.3时，奇推列 2.(1)i=6,k=4: (2)i=1,k=4 3.(1)带负号：(2)带正号：(3)带正号. 4.(1)5:(2)20:(3)3abc-a3.b.c3 (4)8: (5)14:(6)←1)1？ml. 5.2x;-x3. 6.由行列式定义知，该行列式的展开式中有一项是(a1~(a2”)(a~),而其他 项至多是关于1的n-1次多项式，所以该行列式是关于1的n次多项式. 7.(1)-10:2)2-元：(3)8：(4)(x-a(a-bb-x(x+a+b): (5)-3:(6)160:(7)0:(8)5. 9.(10ab+cd+ad+abcd+l:(2)-72:(3)1-a+a2-ad3+a.a: (4)a°+(1)b: a-道04 6+x道 (7)(a2.b2r: (8)6(n-3l: (9)a2b2:(10)←1)(n+1)0a, 10.(1)x=3,x2=-2x3=2: (2)x=2,x=-3x=-2: 284
284 部分习题参考答案 习题一 1.（1） s = 3 ，奇排列； （2） s = 9 ，奇排列； （3） ( 1) 2 n n s + = ,当 n k k = - 4 ,4 1 时，偶排列，当 n k k = - - 4 2,4 3 时，奇排列. 2.（1） i k = = 6, 4 ； （2） i k = = 1, 4 . 3.（1） 带负号；（2）带正号；（3）带正号. 4.（1） 5； （2） 20； （3） 3 3 3 3abc a b c - - - ； （4） 8； （5） 14； （6） 1 ( 1) ! n n + - ? . 5. 4 3 2 ; x x - . 6. 由行列式定义知，该行列式的展开式中有一项是 11 22 )( ) ( ) nn （a - - - λ a λ a λ ,而其他 项至多是关于 的 n−1 次多项式，所以该行列式是关于 的 n 次多项式. 7. （1）-10； (2) 2− ； （3） 8； (4) ( )( )( )( ) x a a b b x x a b - - - + + ； （5）-3； （6） 160； （7）0； （8）5. 9. （1） ab cd ad abcd + + + + 1 ； （2） -72； （3） 2 3 4 5 1- + - + - a a a a a ； （4） 1 ( 1) n n n a b + + - ； （5） 0 1 1 1 ( ) n n i i i i a a = a = - å Õ ； （6） 1 1 n n n i i x x a - = + å ； （7） 2 2 ( )n a b - ； （8） 6( 3)! n- ； （9） 2 2 a b ； （10） 1 ( 1) ( 1) n n i i n a = - + Õ . 10.（1） 1 2 3 x x x = = - = 3, 2, 2 ； （2） 1 2 3 x x x = = - = - 2, 3, 2 ；
(3)x=a,x2=b,x=c: (4)x=x3=1,x=x=.1. 11.(1)k12: (2)k11. 12.(1)k=4,-1: (2)k=0,-3. 13.(a+1)2=4b. 14(1)x=.3=V5=V5:(2)x=a,x=b,3=c: (3)x=y=z=0. 15.f(x)=5x(x-),x=0或x=1. 16.24. 习题二 14187 (311-1 1.(1)-25-25日 (2)-40-40 2165) （-1-3-3-5 (35) 2.(1)03: 2)6 49 (3)+2an+2++2a+a: (369 (4)10: (5)246 123 (-906 (006 3.1)-600 2)-300 （-609 -600 比较(1)与(2)的结果，可得出(A+B(A-B)≠A-B2
285 （3） 1 2 3 x a x b x c = = = , , ； （4） 1 2 3 4 x x x x = = = = - 1, 1. 11.（1） k ¹ 2 ； （2） k ¹ 1. 12.（1） k = - 4, 1 ； （2） k = - 0, 3. 13. 2 ( 1) 4 a b + = . 14.（1） 1 2 3 x x x = - = = - 3, 3, 3 ； （2） 1 2 3 x a x b x c = = = , , ； （3） x y z = = = 0 . 15. f x x x ( ) 5 ( 1) = - , x = 0 或 x = 1. 16. 24． 习题二 1．（1） 14 13 8 7 2 5 2 5 2 1 6 5 − − ； （2） 3 1 1 1 4 0 4 0 1 3 3 5 − − − − − − − ． 2．（1） O3 3 ； （2） 35 6 49 ； （3） 2 2 2 11 1 12 1 2 13 1 3 22 2 23 2 3 33 3 a x a x x a x x a x a x x a x + + + + + 2 2 2 ； （4） 10 ； （5） 3 6 9 2 4 6 1 2 3 ． 3．（1） 906 600 6 0 9 − − − ； （2） 0 0 6 3 0 0 600 − − ． 比较（1）与（2）的结果，可得出 2 2 ( )( ) A B A B A B + − − ．
5.证A+1=A+A4=A(Ln+A=An+A=-山n+A=-kLn+A) =-Ln+A,则A+I=0. 6.证A,B为n阶对称矩阵，则A=A,B=B AB是对称矩阵台(AB)=AB白BA=AB台BA=AB. 7.a=(1,-1,1),aa=3. 8.3 3-1-1 9w年 (2)-421 -101 1.证由=A,两边取行列式，得4=4→A=0或A=1.若4=0，则A不 可逆：若A=1,由A=A,得A(A-)=0,两边同时左乘A得A厂A(A-)=A0, 则A=I. 12.证(1)(A-310(A+)=1,则A-31可逆，且(A-3)=A+1: 2)A4=1,则A可逆，且4=4D -2 -2
286 4． 5 1 3 803 2 1 2 − − ． 5．证 ( ) ( ) T T T T T T A I A AA A I A A I A I A I A + = + = + = + = − + = − + n n n n n = − + n I A ，则 0 A I + = n ． 6．证 A B, 为 n 阶对称矩阵，则 T A A = ， T B B= ． AB 是对称矩阵 ( )T AB AB = T T B A AB = BA AB = ． 7． (1, 1,1)T α = − ， 3 T α α = ． 8．3 k ． 9．（1） 1 4 2 2 3 1 − − − ； （2） 3 1 1 4 2 1 1 0 1 − − − − ； （3） 111 1 1 0 1 0 1 −−− ； （4） 1 2 1 1 1 n a a a ． 10． 16 125 ． 11．证 由 2 A A = ，两边取行列式，得 2 A A A = = 0 或 A =1 ．若 A = 0 ，则 A 不 可逆；若 A =1 ，由 2 A A = ，得 A A I O ( ) − = ，两边同时左乘 −1 A 得 1 1 ( ) − − A A A I A O − = ， 则 A I = ． 12．证 （1） ( 3 )( ) A I A I I − + = ，则 A I −3 可逆，且 1 ( 3 )− A I A I − = + ； （2） ( ) 2 − = − A I A I ，则 A 可逆，且 1 ( ) 2 − − = − A I A ．
13. o 14.52 00.0 0.00 &m(06 (2) 0 .00 00. 0 周 -16 .自：习 19.(1)3:(2)3. 20.k=-3. 21.)=4-4. =-3x+3x: (2)无解： =2, (3){x2=3 x=1
287 13． 1 1 0 6 6 1 2 0 3 3 1 0 0 2 ． 14．52． 15．（1） 1 1 − − O B A O ； （2） 1 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 n n a a a a − ． 16． 9 3 8 2 7 3 − − − ． 17． 6 5 9 16 7 13 2 2 − − − ． 18． 5 1 2 2 3 1 2 − − − ． 19．（1）3；（2）3． 20． k =−3． 21．（1） 1 3 4 2 3 4 4 4 , 3 3 ; x x x x x x = − = − + （2）无解； （3） 1 2 3 2, 3, 1. x x x = = =
习题三 1.v=(30,-10.-20,-16) 2.a=1,b=-l,c=-2 3.(1)可以，B=2a-a-3a (2)可以，B=-11a+14a2+9a: (3)不可以： 4可以，B=3a+a-a-a 4.证明略.B=(-b)a+(,-b)a2+(6-b)a+b,a 5.(1)错：(2)错：(3)错：(4)错. 6.(1)线性无关：(2)线性相关：(3)线性相关：(4)线性相关：(5)当a,b,c互不相同 时，线性无关：当a,b,c中有两个相同时，线性相关 7.a=3. 8.(1)当a≠2时，a,4,a,a,线性无关： (2)当a=2时，a,a,a线性相关，并且r(a,a,a,a）=3. 9.(1)线性无关：(2)线性无关：(3)线性相关. 10.不是，是线性相关. 11.证因为在R”中，n+l个向量a,a,.,a,B必线性相关，又由已知%，a,.,a线 性无关，则向量B可以由它线性表示，且表达式唯一 12.证必要性.因为a,a2,a,线性相关，故存在一组不全为零的数k,k,.,k,使 ka+ka+.+k,a,=0. (1) 不妨设k≠0，k1=.=k,=0,则式(1)变成ka+k4++k8=0,于是得 6》会小飘可标11保 i=1,有ka=0,而k≠0，于是a=0,与条件矛盾，故1>1) 288
288 习题三 1． ν = − − − (30, 10, 20, 16) ． 2． a b c = = − = − 1, 1, 2 ． 3．（1）可以， 1 2 3 β = − − 2 3 α α α ； （2）可以， 1 2 3 β = − + + 11 14 9 α α α ； （3）不可以； （4）可以， 1 2 3 4 5 1 1 1 4 4 4 4 β = + − − α α α α ． 4．证明略. β = − + − + − + (b b b b b b b 1 2 1 2 3 2 3 4 3 4 4 )α ( )α ( )α α ． 5．（1）错；（2）错；（3）错 ；（4）错． 6．（1）线性无关；（2）线性相关；（3）线性相关；（4）线性相关；（5）当 abc , , 互不相同 时，线性无关；当 abc , , 中有两个相同时，线性相关． 7． a = 3． 8．（1）当 a 2 时， 1 2 3 4 α , , , α α α 线性无关； （2）当 a = 2 时， 1 2 3 4 α , , , α α α 线性相关，并且 r(α1 2 3 4 , , , 3 α α α ) = ． 9．（1）线性无关；（2）线性无关；（3）线性相关． 10．不是，是线性相关． 11．证 因为在 n R 中， n+1 个向量 1 2 , , , , α α αn β 必线性相关，又由已知 1 2 , , , α α αn 线 性无关，则向量 β 可以由它线性表示，且表达式唯一． 12．证 必要性. 因为 1 2 , , , α α αs 线性相关，故存在一组不全为零的数 1 2 , , , s k k k ，使 1 1 2 2 . s s k k k α + + + = α α 0 （1） 不妨设 0 i k ， 1 0 i s k k + = = = ，则式（1）变成 1 1 2 2 i i k k k α + + + = α α 0 ，于是得 1 1 1 1 i i i i i k k k k − − = − + + − α α α ，即 αi 可由 1 2 1 , , , α α αi− 线性表示，其中 1 i s （若 i =1 ，有 1 1 k α = 0 ，而 1 k 0 ，于是 α1 = 0 ，与条件矛盾，故 i 1 ）．