《数学模型》 姜启源主编 第一章建立数学模型 1.3.3如何预报人口的增长 背景 世界人口增长概况 年1625183019301960197419871999 人日(亿)5102030405060 中国人口增长概况 年19081933195319641982199019952000 人口(亿)30476.07210.31312.013.0 研究人口变化规律 控制人口过快增长
背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 世界人口增长概况 中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 研究人口变化规律 控制人口过快增长 1.3.3 如何预报人口的增长 第一章 建立数学模型 《数学模型》 姜启源 主编
《数学模型》 姜启源主编 第一章建立数学模型 常用的计算公式今年人口x,年增长率r k年后人口x4=x0(1+r) 指数增长模型马尔萨斯提出(1798) 基本假设:人口(相对)增长率r是常数 x()~时刻人口 x(+△)-x(1) r△t xlt =Px,x(0)=x t o x(t=xe x(t)=x0(e)≈x(1+r) 随着时间增加,人口按指数规律无限增长
指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798) 常用的计算公式 k k x x (1 r) = 0 + x(t) ~时刻t的人口 基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数 r t x t x t t x t = + − ( ) ( ) ( ) 今年人口 x0 , 年增长率 r k年后人口 0 rx, x(0) x dt dx = = rt x t x e0 ( ) = r t x(t) x (e ) = 0 t x (1 r) 0 + 随着时间增加，人口按指数规律无限增长 第一章 建立数学模型 《数学模型》 姜启源 主编
《数学模型》 姜启源主编 第一章建立数学模型 指数增长模型的应用及局限性 °与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据人口增长率不是常数〔逐渐下降)
指数增长模型的应用及局限性 • 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 • 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 • 可用于短期人口增长预测 • 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 • 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降) 第一章 建立数学模型 《数学模型》 姜启源 主编
《数学模型》 姜启源主编 第一章建立数学模型 阻滞增长模型( Logistic模型) 人口增长到一定数量后,增长率下降的原因: 资源、环境等因素对人口增长的阻滯作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大口r是x的减函数 假设(x)=r-8(r,>0)r固有增长率(x很小时) m人口容量(资源、环境能容纳的最大数量) 2r(xm)=0=S= 7(x)=r(1-)
阻滞增长模型(Logistic模型) 人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r(x) = r − sx (r,s 0) r~固有增长率(x很小时) xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量） ( ) (1 ) m x x r x = r − r是x的减函数 xm r r(xm ) = 0 s = 第一章 建立数学模型 《数学模型》 姜启源 主编
《数学模型》 姜启源主编 第一章建立数学模型 阻滞增长模型( Logistic模型 dx X =(xx= dt dalat 2 x(t) x()S形曲线, 1+( x增加先快后慢
rx dt dx = ( ) (1 ) m x x r x x rx dt dx = = − dx/dt x 0 xm/2 xm xm x t x x x e m m rt ( ) ( ) = + − − 1 1 0 t x 0 x(t)~S形曲线, x增加先快后慢 x0 xm/2 阻滞增长模型(Logistic模型) 第一章 建立数学模型 《数学模型》 姜启源 主编