第六章一些特殊矩阵 §6.1正规矩阵
第六章 一些特殊矩阵 §6.1 正规矩阵
正规矩阵 定义6.1设A∈Cm,若AA=AA,则称A为正规矩阵 定理6.1矩阵A酉相似于对角矩阵的充分必要条件是A为正规矩阵,且对角矩阵的对角元 素可根据需要排序 定理6.2设A和B都是正规矩阵,且AB=BA,则存在酉矩阵U,使得UAU和 UBU同时为对角矩阵(即A和B有相同特征向量) 注记 若A是n×n实矩阵,满足AA4=AA,则称A为(实)正规矩阵
正规矩阵 定义 6.1 设 n n A C ，若 H H AA A A = ，则称 A 为正规矩阵. 定理 6.1 矩阵 A 酉相似于对角矩阵的充分必要条件是 A 为正规矩阵, 且对角矩阵的对角元 素可根据需要排序. 定 理 6.2 设 A 和 B 都是正规矩阵，且 AB BA = ，则存在酉矩 阵U ，使 得 H U AU 和 H U BU 同时为对角矩阵（即 A 和 B 有相同特征向量）. 注记 若 A 是n n 实矩阵，满足 T T AA A A = , 则称 A 为（实）正规矩阵
§62 Hermite矩阵
§6.2 Hermite矩阵
Hermite阵 定义62设矩阵A∈C,若A=A,则称矩阵A为 Hermite矩阵.(若A=A∈CnN,则称矩阵A为复对称矩阵) 定理6.3A∈C"为 Hermite矩阵分 (Ax,x)∈R,vx∈Cn
定义 6.2 设矩阵 n n A C ，若 = H A A ，则称矩阵 A 为 Hermite 矩阵.（若 = T n n A A C ，则称矩阵 A 为复对称矩阵） 定理6.3 n n A C 为 Hermite 矩阵 ( ) Ax x R ， ， n x C . Hermite 阵
Hermite阵 定理64A∈C"为 Hermite矩阵◇>存在酉阵U,S.t. UAU=A 为实对角矩阵(即A酉相似于对角矩阵∧).称其为矩阵A的谱分解. 推论: Hermite矩阵的特征值是实数,且有标准正交的特征向量基. 注:若矩阵A满足A=A是实对称矩阵,则U为实正交矩阵
Hermite 阵 定理 6.4 n n A C 为 Hermite 矩阵 存在酉阵 U，s.t. H U AU = 为实对角矩阵（即 A 酉相似于对角矩阵 ）. 称其为矩阵 A 的谱分解. 推论：Hermite 矩阵的特征值是实数，且有标准正交的特征向量基. 注：若矩阵 A 满足 T A A = 是实对称矩阵，则U 为实正交矩阵