第十章:群与环 豪 第一节:群的定义及性质 第二节:子群与群的陪集分解 第三节:循环群与置换群 2
2 第十章: 群与环 第一节：群的定义及性质 第二节：子群与群的陪集分解 第三节：循环群与置换群
群简介 豪 口群在抽象代数中具有基本的重要地位 令群是一个特殊的代数系统 令是环、域和模的基础 ◆在几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其 他许多数学分支起作用 令群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中 口群论是法国传奇式人物伽罗瓦提出 令用以解决了五次方程问题 ◆提出:把数学运算归类 口例:全体整数的加法构成一个群
4 群简介 ❑群在抽象代数中具有基本的重要地位 ❖群是一个特殊的代数系统 ❖是环、域和模的基础 ❖在几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其 他许多数学分支起作用 ❖群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中 ❑群论是法国传奇式人物伽罗瓦提出 ❖用以解决了五次方程问题 ❖提出：把数学运算归类 ❑例：全体整数的加法构成一个群
)10.1群的定义及性质 豪 口半群<G,*>:<G,>是一个代数系统,是G上 的二元运算如果*在G上成立结合律 ☆a*(bc)=(ab)*C 口例:下列代数系统是半群 心R表示正实数集合,<R,+>,<R,*>是半群 令<Mn(R>是半群,M(R)m阶矩阵的全体
5 10.1 群的定义及性质 ❑半群<G,*> ： <G,*>是一个代数系统,*是G上 的二元运算,如果*在G上成立结合律 ❖a*(b*c)=(a*b)*c ❑例：下列代数系统是半群 ❖R+表示正实数集合,<R+ ,+>,<R+ ,*>是半群 ❖ <Mn (R),+>是半群, Mn (R) n阶矩阵的全体
)10.1群的定义及性质 豪 口独异点<G*>:有幺元的半群 口例:下列代数系统是独异点 令<N,+,0>,<N,,1>均为独异点 令<P(S,U,O>,<P(S),∩,S>均为独异点 冷<P(S,⊕,O>为独异点 令<A,O>为独异点:o为函数复合 单位元为恒等函数
6 10.1 群的定义及性质 ❑独异点<G,*> ： 有幺元的半群 ❑例：下列代数系统是独异点 ❖<N,+,0>,<N,*,1>均为独异点 ❖<P(S), ∪,Ø>,<P(S), ∩,S>均为独异点 ❖<P(S), , >为独异点 ❖<AA , >为独异点： 为函数复合 • 单位元为恒等函数
)10.1群的定义及性质 豪 口半群同态f:A=<S,>和B=<T,⊙>是任意二个 半群,g:S→T为A到B的同态,如果 ☆g(a*b)=g(a)⊙g(b) 口同态分类: ☆半群的满同态:g为满射 令半群的单一同态:g为单射 令半群的同构:g为双射
7 10.1 群的定义及性质 ❑半群同态f：A=<S,*>和B=<T, ⊙>是任意二个 半群， g：S→T为A到B的同态，如果 ❖g(a*b)=g(a)⊙g(b) ❑同态分类： ❖半群的满同态：g为满射 ❖半群的单一同态：g为单射 ❖半群的同构：g为双射