第五节不定积分换元法 学习重点 第一换元法 第二换元法 小结思考题
第五节 不定积分换元法 学习重点 小结 思考题 第一换元法 第二换元法
、第一类换元法 问题Jcs2xt号sim2x+C, 解决方法利用复合函数,设置中间变量 过程令t=2x→=d, cos 2xdx=cos tdt=sint+c=sin 2x+C. 2
问题 cos2xdx= sin2x + C, 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令 t = 2x , 2 1 dx = dt cos2xdx tdt = cos 2 1 = sint + C 2 1 sin2 . 2 1 = x + C 一、第一类换元法
在一般情况下: 设F()=f(a,则∫/(am=F()+C 如果u=(x)(可微) dFi(x=fip(x)lo(x)dx ∫/1(x)p(x)k=F(x)+C I f(u)du u=o(x) 由此可得换元法定理
在一般情况下： 设 F(u) = f (u), 则 ( ) ( ) . f u du = F u + C 如果 u = (x) （可微） dF[(x)] = f[(x)](x)dx f[(x)](x)dx = F[(x)]+ C = = ( ) [ ( ) ] u du u x f 由此可得换元法定理
定理1设∫(u)具有原函数,u=g(x)可导, 则有换元公式 ∫f(x)p(xlk=可Jf()l= 第一类换元公式(凑微分法) 说明使用此公式的关键在于将 ∫8(x)化为∫q(xp(x) 观察重点不同,所得结论不同
设 f (u)具有原函数， f[(x)](x)dx = = ( ) [ ( ) ] u du u x f 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 g(x)dx 化为 [ ( )] ( ) . f x x dx 观察重点不同，所得结论不同. u = (x)可导， 则有换元公式 定理1
例1求sin2x. (-)sin 2 xdx=asin 2xd(2x) -coS 2x +c: 解(二)sin2x=2 sin xcos xdv 2 sin xd(sin x)=(sin x)+C; 解(三)Jsi2xdx= sin xcos xd -2 cos xd(cos xA-( cos x)+C
例1 求 sin2 . xdx 解（一） sin2xdx = sin2 (2 ) 2 1 xd x cos 2 ; 2 1 = − x + C 解（二） sin2xdx = 2 sin xcos xdx = 2 sin xd(sin x) (sin ) ; 2 = x + C 解（三） sin2xdx = 2 sin xcos xdx = − 2 cos xd(cos x) (cos ) . 2 = − x + C