第六节定积分的几何应用 微元法 平面图形的面积 、旋转体的体积 四、平行截面面积为已知 的立体的体积
第六节 定积分的几何应用 一、微元法 二、平面图形的面积 三、旋转体的体积 四、平行截面面积为已知 的立体的体积
微元法 回顾曲边梯形求面积的问题 曲边梯形由连续曲线 y=∫(x) y=∫(x)(f(x)≥0)、 x轴与两条直线x=、 x=b所围成。 b x b A=f(x)dc
回顾 曲边梯形求面积的问题 ( ) b a A f x dx = 一、微元法 曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线 y = f (x)( f ( x) 0) 、 x轴与两条直线x = a 、 x = b所围成。 a b x y o y = f (x)
面积表示为定积分的步骤如下 (1)把区间[a,6分成n个长度为△x;的小区间 相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形,第i 个小窄曲边梯形的面积为△4,则A=∑△A (2)计算△4的近似值 △41≈f(9)x25∈△x (3)求和,得A的近似值As∑f(5)△x
面积表示为定积分的步骤如下 （1）把区间[a,b]分成n个长度为xi 的小区间， 相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第i 个小窄曲边梯形的面积为Ai，则 = = n i A Ai 1 . （2）计算Ai 的近似值 i i xi A f ( ) i xi （3） 求和，得A的近似值 ( ) . 1 i i n i A f x =
(4)求极限,得A的精确值 A=lim∑f(5Ar=/(x)面 积 提示若用△A表示任一小区间 元素 x,x+△x上的窄曲边梯形的面积, y=f(r) 则A=∑△,并取△A≈f(x)dc 于是A≈∑f(x)dx a x x+dbx A=im∑f(x)tx=J(x)r
a b x y o y = f (x) （4） 求极限，得A的精确值 i i n i A = f x = → lim ( ) 1 0 = b a f (x)dx 提示 若用A 表示任一小区间 [x, x + x]上的窄曲边梯形的面积， 则A = A，并取A f ( x)dx， 于是A f (x)dx A = lim f (x)dx ( ) . = b a f x dx x x + dx dA 面 积 元 素
当所求量U/符合下列条件: (1)U是与一个变量x的变化区间[a,6有关 的量; (2)U对于区间nb具有可加性,就是说, 如果把区间[a,6分成许多部分区间,则相 应地分成许多部分量,而等于所有部分量之 和 (3)部分量△U的近似值可表示为f(5)Ax 就可以考虑用定积分来表达这个量
当所求量U 符合下列条件： （1）U 是与一个变量x的变化区间a,b有关 的量； （2）U 对于区间a,b具有可加性，就是说， 如果把区间a,b分成许多部分区间，则U 相 应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之 和； （3）部分量Ui的近似值可表示为 i xi f ( ) ； 就可以考虑用定积分来表达这个量U