§2连续函数的性质 在本节中,我们将介绍连续函数的局 部性质与整体性质熟练地攣握和运用 这些性质是具有分析修养的重要标 连续函数的局部性质 二、闭区间上连续函数的性质 三、反函数的连续性 致连续性 前页)后页)(回
前页 后页 返回 §2 连续函数的性质 在本节中,我们将介绍连续函数的局 一、连续函数的局部性质 四、一致连续性 三、反函数的连续性 二、闭区间上连续函数的性质 这些性质是具有分析修养的重要标志. 部性质与整体性质.熟练地掌握和运用 返回
一、连续函数的局部性质 所谓连续函数局部性质就是指:若函数∫在点x 连续(左连续或右连续),则可推知∫在点x的某 个局部邻域(左邻域或右邻域)内具有有界性、保 号性、四则运算的保连续性等性质 前页】后页)返回
前页 后页 返回 一、连续函数的局部性质 x0 所谓连续函数局部性质就是指: 若函数 f 在点 连续(左连续或右连续),则可推知 f 在点 x0的某 号性、四则运算的保连续性等性质. 个局部邻域(左邻域或右邻域)内具有有界性、保
定理42(局部有界性)若函数∫在点x连续,则 ∫在某邻域U(x)上有界 证因为∫在x连续,所以对a=1,存在8>0, 当x-x0|<8时,f(x)-f(x)<1,故 f(x)|S|f(x)|+1 注意:我们在证明有界性时,取E=1这个特定的值, 而不是用术语“对于任意的E>0”,这样可求得 f(x)|的一个明确的上界. 前页】后页)返回
前页 后页 返回 0 | ( ) | | ( ) | 1. f x f x + 0 当| | , x x − 时 0 | ( ) ( ) | 1, f x f x − 故 | f (x) | 的一个明确的上界. 0 证 因为 在 连续， f x 所以对 = 1 ,存在 0 , 注意:我们在证明有界性时, 取 = 1 , 这个特定的值 而不是用术语 “对于任意的 0 , ” 这样可求得 0 f U x 在某邻域 ( ) . 上有界 定理4.2（局部有界性） 若函数 f 在点 x0 连续， 则
定理43(局部保号性)若函数∫在点x连续,且 f(x0)>0(或f(x0)<0),则对任意一个满足 0<r<f(x)或(f(x0)<-r<0)的正数r,存在 δ>0,当x∈(x0-6,x0+δ)时, f(x)>r(或∫(x)<-r<0), 证因为f在x连续,所以对正数a=f(x)-r, 存在>0,当x∈(x-8,x0+8)时,有 f(x)-f(x)<E0=f(x0)-r, 前页)后页级回
前页 后页 返回 f (x) r (或 f (x) −r 0), 0 0 存在 0, 当 时 有 x x x − + ( , ) , 0 0 0 | ( ) ( ) | ( ) , f x f x f x r − = − 0 0 0 ( ) ( ( ) 0) , − r f x f x r r 或 的正数 存在 0 定理4.3（局部保号性） 若函数 f x 在点 连续,且 ( ) 0 ( ( ) 0 ) , f x0 或 f x0 则对任意一个满足 证 因为 在 连续 所以对正数 f x f x r 0 0 0 , , = − ( ) 0 0 − + 0, ( , ) , 当 时 x x x
于是证得f(x)>r>0 注在具体应用保号性时,我们经常取r=f(x 2 定理44(连续函数的四则运算)若函数f(x),g(x) 均在点x连续,则函数 (1)f(x)+g(x),(2)f(x)-g(x), (3)f(x)·g(x),(4)f(x)/g(x),g(x)≠0 在点x也是连续的. 前页】后页)返回
前页 后页 返回 (1) ( ) ( ), f x g x + (2) ( ) ( ), f x g x − . 2 ( ) x0 f 注 在具体应用保号性时,我们经常取 r = 于是证得 f (x) r 0. 定理4.4（连续函数的四则运算） 若函数 f x g x ( ), ( ) 均在点x0连续,则函数 0 (3) ( ) ( ), f x g x (4) ( )/ ( ), ( ) 0 f x g x g x 0 在点 也是连续的 x