数理逻辑 课程XI
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第山章函数 上一章研究了关系的自反,传递、对称等 性质,并针对这些性质研究了一些特殊的 关系,如等价关系、偏序关系.这一章研 究的各类函数是另外一些特殊的关系,这 是从它们的单值性、定义域和值域的性质 来讨论的.函数是一个基本的数学概 念.通常的实函数是在实数集合上讨 的.这里推广了实函数概念,讨论在任意 集合上的函数
第11章 函 数 • 上一章研究了关系的自反，传递、对称等 性质，并针对这些性质研究了—些特殊的 关系，如等价关系、偏序关系．这一章研 究的各类函数是另外一些特殊的关系，这 是从它们的单值性、定义域和值域的性质 来讨论的．函数是一个基本的数学概 念．通常的实函数是在实数集合上讨论 的．这里推广了实函数概念，讨论在任意 集合上的函数．
LL.1函数和选择公理 ⊥111函数定义 定义11.1.1对集合A到集合B的关系f,若满足下列条件: 1)对任意的x∈dom(f,存在唯一的y∈ran(f),使xy成 (2)dom(f)=A 则称f从A到B的函数,或称f把A映射到B(有的书称f为全 函数、映射、变换 0一个从A到B的函数f,可以写成f:A→B,这时若xy,则 一可记作f:x→y或f(×)=y °若A到B的关系f只满足条件(1),且有dom(f)<A,则称f为 从A到B的部分函数(有的书上称f为函数)
11．1 函数和选择公理 11.1.1 函数定义 • 定义11.1.1 对集合A到集合B的关系f，若满足下列条件： (1)对任意的x∈dom(f)，存在唯一的y∈ran(f)，使xfy成 立； (2)dom(f)=A 则称f为从A到B的函数，或称f把A映射到B(有的书称f为全 函数、映射、变换) • 一个从A到B的函数f，可以写成f：A→B，这时若xfy，则 可记作f：x|→y或f(x)=y. • 若A到B的关系f只满足条件(1)，且有dom(f)A，则称f为 从A到B的部分函数(有的书上称f为函数)
函数的两个条件可以写成 1)×(y1)(Vy2)(xhy1^xy2)→y1=y2), (2(×)(×∈A→(y)(y∈B^xfy) 函数的第一个条件是单值性,定义域中任一x与B中唯一的 y关系,因此,可以用f(x)表示这唯一的y.第二个条件 是A为定义域,A中任X都与B中某个y有关系注意不能把 单值性倒过来,对A到B的函数f,当xf且x2成立时,不 定X1=x2;因此,函数的逆关系不一定是函数 ●如果一个关系是函数,则它的关系矩阵中每行恰好有一个 1,其余为0。它的关系图中每个A中的顶点恰好发出一条 有向边
• 函数的两个条件可以写成 (1)(x)(y1)(y2)((xfy1^xfy2)→y1=y2)， (2)(x)(x∈A→(y)(y∈B^xfy))． • 函数的第—个条件是单值性，定义域中任一x与B中唯一的 y有关系，因此，可以用f(x)表示这唯一的y．第二个条件 是A为定义域，A中任一x都与B中某个y有关系.注意不能把 单值性倒过来，对A到B的函数f，当x1fy且x2fy成立时，不 一定x1=x2；因此，函数的逆关系不一定是函数． • 如果一个关系是函数，则它的关系矩阵中每行恰好有一个 1，其余为0。它的关系图中每个A中的顶点恰好发出一条 有向边．
例1对实数集R,R上的关系千为 f={×,y>|y 是从R到R的函数,记作f:R→R,并记作f:X→×3或f(x) 例2集合A={1,2,3}上的两个关系 g=<1,2>,<2,3>,<3, 和=h={<1,2>,<2,3>} 都不是从A到A的函数. 因为g没有单值性,即<3,1>∈g且有<3,2>∈g,而对 关系h,dom(h)={1,2}≠A.但是,h是从{1,2}到A的函
• 例1 对实数集R，R上的关系f为 f＝{<x，y>|y=x3} f是从R到R的函数，记作f：R→R，并记作f：x|→x 3或f(x) ＝x 3． • 例2 集合A={1，2，3}上的两个关系 g＝{<1，2>，<2，3>，<3，1>，<3，2>} 和 h={<1，2>，<2，3>} 都不是从A到A的函数． • 因为g没有单值性，即<3，1>∈g且有<3，2>∈g，而对 关系h，dom(h)={1，2}≠A．但是，h是从{1，2}到A的函 数．