第六节 第十二章 妈数顶級數的一收敛性 及一致收做盤飘的基本质 函数项级数的一致收敛性 二、一致收敛级数的基本性质
函数项级数的一致收敛性 *第六节 一、函数项级数的一致收敛性 及一致收敛级数的基本性质 二、一致收敛级数的基本性质 第十二章
函数项级数的一致收敛性 幂级数在收敛区间上的性质类似于有限项函数求和 的性质,但一般函数项级数则不一定有这么好的特点 例如,级数 x+(x--x)+(x-x-)+∴+(x-x 每项在[0,1上都连续,其前n项之和为Sn(x)=x 0.0<x<1 和函数S(x)= lim s(x)= n→>0 1.x=1 该和函数在x=1间断
一、函数项级数的一致收敛性 幂级数在收敛区间上的性质类似于有限项函数求和 但一般函 数项级数则不一定有这么好的特点. 例如, 级数 x + (x 2 − x) + (x 3 − x 2 ) ++ (x n − x n−1 ) + 每项在 [0,1] 上都连续, 其前 n 项之和为 ( ) , n n S x = x 和函数 = = → S(x) lim S (x) n n 0, 0 x 1 1, x =1 该和函数在 x＝1 间断. 的性质
sinx sine sInn r 又如,函数项级数 sInn x 因为对任意x都有 (n=1,2 所以它的收敛域为(-∞,+∞),但逐项求导后的级数 COS x+Cos 2-x+.+cosn-x+.. 其一般项不趋于0,所以对任意x都发散 问题:对什么样的函数项级数才有 逐项连续 和函数连续 逐项求导=和函数求导;逐项积分=和函数积分
因为对任意 x 都有: ( 1,2, ) sin 1 2 2 2 n = n n n x 所以它的收敛域为(−, +) , 但逐项求导后的级数 cos x + cos 2 2 x ++ cos n 2 x + 其一般项不趋于0, 所以对任意 x 都发散 . 又如, 函数项级数 问题: 对什么样的函数项级数才有: 逐项连续 和函数连续; 逐项求导 = 和函数求导; 逐项积分 = 和函数积分
函数序列的一致收敛 回忆设(x)是区间/上的函数列若vx∈l,数列 (x)收敛,则称{(x)}在上收敛或逐点收敛 即VE>0,丑N(x0,B)>0,当n>N(x0,B)时,|fn(xn)-f(x0)kE 定义设{(x)}在点集/上逐点收敛于f(x)且对 任意>0,存在与x无关N(G),使得当n>N时,对 切x∈1,都有f,(x)-f(x)<6,则称{(x)在上 致收敛于f(x)
函数序列的一致收敛 回忆 0 ( ) , , n 设 f x I x I 是区间 上的函数列 若 数列 f x f x I n n ( ) ( ) . 0 收敛，则称 在 上收敛或逐点收敛 0 0 即 当 时 0, ( , ) 0, ( , ) , N x n N x 0 0 | ( ) ( ) | n f x f x − 定义 则称 f x I n ( )在 上一 设 f x I f x n ( ) ( ) 在点集 上逐点收敛于 ，且对 任意 0, 存在与x N 无关 ( ), , 使得当n N 时 对一 切x I , ( ) ( ) , n 都有 f x f x − 致收敛于f x( )
定理记:B,=supf(x)-f(x),则{f(x)在/上 x∈ 致收敛于f(x) e lim B=0 n→00 证明:若{n(x)}在上一致收敛于f(x),则vE>0, 丑N(E)>0,st.n>N()时,对x∈/都有, (x)-f(x)<6 B=supl m(x)-f(xs<e: lim Bn=0 x∈I 2 反之,若imBn=0,则vE>0,丑N()>0,n>N(B)时 n→0 <a ∈,J(x)-f(x)sBn<E f(x)}在上一致收敛于f(x)
证明： 反之， 定理 : sup ( ) ( ) n n x I f x f x 记 = − ，则 f x I n ( )在 上 ( ) lim 0 n n f x → 一致收敛于 = 。 { ( )} ( ), n 若 f x I f x 在 上一致收敛于 则 0, N( ) 0, s t n N . . ( ) , 时 对 x I都有, ( ) ( ) 2 n f x f x − sup ( ) ( ) 2 n n x I f x f x = − lim 0. n n → = lim 0, 0, ( ) 0, ( ) n n N n N → 若 = 则 时 , n , ( ) ( ) . n n − x I f x f x { ( )} ( ). f x I f x n 在 上一致收敛于