第4章数值微积分
第4章 数值微积分
第4章数值微积分 对于函数(x)在区间ab上的定积分 ()=f(x)x (4-1) 若能求得f(x)的原函数F(x),即F(x)=f(x) 则由 Newton- Leibnitz公式 /(O)=F(x)=F(b)-F(a) 但由于实际情况中,f(x)的原函数很难求出,因此,只能计算 定积分的近似值
第4章 数值微积分 对于函数f x a b ( ) [ , ] 在区间 上的定积分 ( ) ( ) (4-1) b a I f f x dx = 若能求得f x F x ( ) ( ) 的原函数 ,即F x f x ( ) ( ) = 则由Newton Leibnitz - 公式 ( ) ( ) ( ) ( ) b a I f F x F b F a = = − 但由于实际情况中, ( ) , f x 的原函数很难求出因此,只能计算 定积分的近似值
第4章数值微积分 数值积分 考虑用函数f(x)在一些数据点处的值的适当组合,作为 定积分/()的近似 ()≈Q()=∑4f(x) (4-2) 其中:x是适当选取的点,称为节点 A称为求积系数 公式(4-2)称为求积公式,以上方法称为数值积分
第4章 数值微积分 数值积分 ( ) , ( ) f x I f 考虑用函数 在一些数据点处的值的适当组合 作为 定积分 的近似 0 ( ) ( ) ( ) (4-2) n k k k I f Q f A f x = = k 其中:x 是适当选取的点,称为节点 Ak称为求积系数 公式(4-2)称为求积公式 ,以上方法称为数值积分
第4章数值微积分 数值积分要考虑的问题 (1)如何选择合适的节点x (2)确定合适的求积系数4; (3)如何计算误差E(f)=1()-Q,并使其尽可能的小 求积公式可以分成两大类 (1) Newton-COes型公式基于等距分布的节点 (2)Gas公式取相应的正交多项式的根作为节点
第4章 数值微积分 数值积分要考虑的问题 (1) ; k 如何选择合适的节点x 求积公式可以分成两大类 (1) Newton Cotes - , 型公式 基于等距分布的节点 (2) Gauss型公式,取相应的正交多项式的根作为节点 (2) ; 确定合适的求积系数Ak (3) ( ) ( ) - ( ), 如何计算误差 E f I f Q f = 并使其尽可能的小
第4章数值微积分 内插求积 Newton- Cotes公式 对任意被积函数f(x),在给定的节点x,(=0,1,2,…,n) 对应的函数值为(x),则可构造插值多项式p(x)来近似(x) f(x)=p,(x)+r(x) 其中:R(x)为插值多项式的余项 对上式,两边同时积分,有 f(x)x=」p(x)+」R(x) 由于f(x)≈p(x),不考虑误差项,有 ()=(x)k=J,p(xk=)
第4章 数值微积分 4.1 内插求积 Newton-Cotes公式 对任意被积函数f x( ) ( 0,1,2,..., ) i ,在给定的节点x i n = ( )i 对应的函数值为f x ( ) ( ) n ,则可构造插值多项式p x f x 来近似 ( ) ( ) n f x p x = ( ) +R x n 其中:R x( )为插值多项式的余项 对上式,两边同时积分,有 ( ) ( ) ( ) b b b n n a a a f x dx p x dx R x dx = + ( ) ( ) n 由于f x p x ,不考虑误差项,有 ( ) ( ) b a I f f x dx = ( ) b n a p x dx = Q f ( )