《微积分》课程教学资源（PPT课件讲稿）重积分的换元法

第二节 第十章 二重积分的计算法 利用直角坐标计算二重积分 利用极坐标计算二重积分 三、二重积分的换元法 00000 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 *三、二重积分的换元法 第二节 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 第十章

、矩形区域上的二重积分的计算 设D={a,b1×e,dl,f:D→R,如对x∈la,bl 函数f(x,)在c,d上可积,则可得如下函数: d I(x)=f(x,y)④y,x∈a,b C 如果函数I(x)也在a,b上可积,则得积分 ∫(x)d=f(x,y) 此积分称为累次积分.记为af(x,y) C 目录上页下页返回结9

目录 上页 下页 返回 结束 2 一 、矩形区域上的二重积分的计算 设 D  [a,b][c,d], f : D  R, 如对 x [a,b], 函数 f (x, ) 在[c,d]上可积, 则可得如下函数： I(x) f (x, y)dy, x [a,b]. d c    如果函数 I(x)也在[a,b]上可积, 则得积分 ( ) ( ( , ) ) .     b a d c b a I x dx f x y dy dx 此积分称为累次积分 . ( , ) .   b a d c 记为 dx f x y dy

类似理解: d b d eb dyl f(x, y)dx=( f(x, y)dx)dy C C 问题: d df(x,y)小y C f(x, y)do D delf(x,y)dr C 目录上页下页返回结9

目录 上页 下页 返回 结束 3 类似理解 : ( , ) ( ( , ) ) .      d c b a d c b a dy f x y dx f x y dx dy 问题 :  D f ( x, y)d ( , ) ,   b a d c dx f x y dy ( , ) .   d c b a ? dy f x y dx

定理21设f(x,y)在矩形区域D={a,1×1,d让上可积 且对x∈,b积分[f(x,y)都存在,则累次 C 积分 b df(x,y)也存在,且 b f(,y)do=dxf(x, y)dy D z=f(,y) A(x)=f(x, y)dy y no x

目录 上页 下页 返回 结束 4 设f (x, y)在矩形区域D  [a,b][c,d]上可积, 且对 x [a,b], 积分 ( , ) 都存在,  d c f x y dy 则累次 积分   b a d c dx f (x, y)dy 也存在, 且  D f ( x, y)d ( , ) .    b a d c dx f x y dy ( ) ( , ) d c A x  f x y dy  定理2.1

证明1(x)=f(x,y),x∈l,b C 对a,b1,c,d的分割 丌x:a=x0<x1<…<xn=b, 丌n:C=J0<y1<…<Jm=d, 令1=[x1,xl,=1,…,n, 1=y-1,y;l,j=1, 因此子矩形IxJ形成了D的分割Z=zx×y 令A=「f由定义,VE>0,6>0, D 当分割满足z<时,有 A-E<∑∑f(5,)xA<A+E.( 目录上页下页返回结束5

目录 上页 下页 返回 结束 5 : , 0 1 a x x x b  x     n  : , 0 1 c y y y d  y     m  [ , ], 1, , , 令 Ii  xi1 xi i   n [ , ], 1, , . J j  y j1 y j j   m 因此子矩形Ii  J j形成了D的分割   x  y   D 令A fd 由定义，  0,  0, I(x) f (x, y)dy, x [a,b]. d c    对[a,b],[c,d]的分割 证明 当分割满足   时，有 1 1 ( , ) . (1) n m i j i j i j A  f   x y A          