x=F(b)-千(0)千(x=x).0x在 米他物 xx÷二x) 第五章数值积分和微分 x)=x)=①nx+ax++x+a l+/ ocd=x+c
1 第五章 数值积分和微分
Q IX (M+ 0-x%) v二8 一、一般求积公式及代数精度 设函数f(x)在区间[a上具有一定的光滑度,用数值 积分方法计算∫fxd的最一般的方法是用f(x)在节点 a=xn<x1<…<xn=b的函数值的线性组合来近似地表示 f(x)≈∑A1f(x;) (1) 其中A(i=1,2n)是与f(x)无关的常数称为求积系数, (1)称为求积公式,x(i=12,,n)称为求积节点。 2
2 设函数 f ( x) 在区间a,b上具有一定的光滑度，用数值 积分方法计算 b a f (x)dx 的最一般的方法是用 f ( x)在节点 a = x0 x1 ... xn = b的函数值的线性组合来近似地表示： ( ) ( ) 0 i n i i b a f x dx A f x = （1） 其中 A (i 1,2,...n) i = 是与 f ( x)无关的常数称为求积系数， （1）称为求积公式， x (i 1,2,...,n) i = 称为求积节点。 一、一般求积公式及代数精度
f(x)∑4f(x)(1) i=0 )=+(x)取≤W 三 定义1如果(1)对于任何次数不高于m次的代数多项式都精 确成立,对于x不能精确成立,则称(1)具有m次代数精度。 注: 1.如果去掉定义一中的第二个条件,则称公式(1)至少具有 m次代数精度 2.若求积公式(1)对∫(x)g(x)都精确成立,那么(1)对 q(x)+/g(x)亦精确成立
3 注： 1. 如果去掉定义一中的第二个条件，则称公式（1）至少具有 m 次代数精度。 2. 若求积公式（1）对 f (x), g(x) 都精确成立，那么（1）对 f (x) + g(x) 亦精确成立。 0 ( ) ( ) (1) n b i i a i f x dx A f x = 定义 1 如果（1）对于任何次数不高于 m 次的代数多项式都精 确成立,对于 m+1 x 不能精确成立,则称(1)具有 m 次代数精度
实际上,如果(x)=∑4/()且∫8(x)=∑4g(x), i=0 则令:F(x)=a/f(x)+Bg(x),那么: f(x)=(()+g()=()+ =a∑Af(x)+B∑Ag(x) i=0 ∑4(af(x)+B8(x) ∑AF(x) 4
4 实际上，如果 0 ( ) ( ) n b i i a i f x dx A f x = = 且 0 ( ) ( ) n b i i a i g x dx A g x = = ， 则令：F x f x g x ( ) = + ( ) ( )，那么： ( ) b a F x dx ( ( ) ( )) b a = + f x g x dx ( ) ( ) b b a a = + f x dx g x dx 0 0 ( ) ( ) n n i i i i i i A f x A g x = = = + ( ) 0 ( ) ( ) n i i i i A f x g x = = + 0 ( ) n i i i A F x = =
公验证(1)式具有m次代数精度,只需验证(1)式对 f(x)=x(k=0,2,…,m)精确成立,而对于f(x)=xm不精确 成立即可。 因为,若(1)式κ(k=0,1,2,…,m)精确成立, 则对/()=anx"+anx1+…+ax+a有k 2意 w氢比 If(x)dx=l(amx"+am-x++ax+a)dx x"dx+ ∫x"h+…+1+aa 1-1 5
5 3. 验证（1）式具有 m 次代数精度，只需验证（1）式对 k f x x ( ) = 0 1 2 ( , , ,..., ) k m = 精确成立，而对于 1 ( ) + = m f x x 不精确 成立即可。 因为，若（1）式 ( 0,1,2,..., ) k x k m = 精确成立， 则对 1 1 1 0 ( ) m m m m f x a x a x a x a − = + + + + − 有 ( ) 1 1 1 0 ( ) b b m m m m a a f x dx a x a x a x a dx − = + + + + − 1 1 1 0 b b b b m m m m a a a a a x dx a x dx a xdx a dx − = + + + + + −