满足初始条件(0)=2的特解为： y=0-子1-0+ 说明：对线性微分方程y+P(x)y=Q(x,除以上两种基本解法外，可以验证它具有积分因子， 因此线性微分方程也可转化成全微分方程求解。 例小、求额分方程广2n一的解 分析：粗看本题，它既不能分离变量，又不是齐次，也不是线性方程，似乎无从入手，其困难 在于分母由三项组成。但如果将分子分母交换位性，将方程化为： -广+2y-即：+-2x=1 1w2 dy y2 这样把原方程化为以y为自变量，而以×为函数的线性微分方程。 解：根据线性方程的解法有 ∫2 2 dy+c -+o 本题也可用常数变易法求解： 例5求可微函数)使曲线积分()-+px边=0，其中e为第一象限内 且过点(1、)的任意闭曲线。 分析由题设条件知，曲线积分（在第一象限内）与积分路径无关，因此架-票 可得函数x)所满足的微分方程。 解：由架-是，有0=-型即p)+p)=() 这是贝努利方程，令： :=p2(x) 方程可化为线性方程： 所：=e可-2+d小=r可-是+0
90 满足初始条件 y(0) = 2 的特解为： ln(1 ) 1] 1 1 (1 )[ + − + − = − x x y x 说明：对线性微分方程 y'+P(x) y = Q(x), 除以上两种基本解法外，可以验证它具有积分因子， 因此线性微分方程也可转化成全微分方程求解。 例 4、求微分方程 y xy x y y + − = 2 ' 2 2 的解 分析：粗看本题，它既不能分离变量，又不是齐次,也不是线性方程，似乎无从入手，其困难 在于分母由三项组成。但如果将分子分母交换位置，将方程化为： 2 2 2 y y xy x dy dx + − = 即： 1 1 2 2 = − + x y y dy dx 这样把原方程化为以 y 为自变量，而以 x 为函数的线性微分方程。 解：根据线性方程的解法有 + = − − − x e e dy c dy y y dy y y 2 2 1 2 1 2 = ( ) 1 1 2 y e e c y y + − 本题也可用常数变易法求解： 例 5 求可微函数 (x) 使曲线积分 − + = c ydx x dy x x x ] ( ) 0 ( ) [ ( ) 3 ，其中 c 为第一象限内 且过点（1、 2 1 ）的任意闭曲线。 分析 由题设条件知，曲线积分（在第一象限内）与积分路径无关，因此 y p x Q = 可得函数 (x) 所满足的微分方程。 解：由 y p x Q = ，有 x x x x ( ) '( ) ( ) 3 = − 即 ( ) ( ) 1 ( ) 3 x x x x + = 这是贝努利方程，令： ( ) 2 z x − = 方程可化为线性方程： 2 2 − x = − dx x dz 所以： ) 2 [ 2 ] ( 2 2 2 2 + = − + − = − dx c x z e e dx c x dx x dx x
=22+o)=2x+ex2由0=分得c2 故所求函数为： 向a2w方安 例6、设函数f(x)连续且满足方程：∫f0)d=x2+fx)试求fx) 解：将积分方程两边对x求导得：(x)=2x+(x) 即：(x)-xf(x)=-2x 这是一阶线性微分方程，其通解为： 2 -2we dd-e 2e)2+Ce 由f0)=0得c=-2,故所求函数为：fx)=21-e2) 说明：微分方程的初始条件0-0，通常由积分方程厂矿0d=x己+()来确定 例7：求微分方程：(esx+达+(-=0的通解。 y y y2 分折从方程的形式判断，它有可能是全微分方程至，令刀=+片Q=（分户之 贴包视分方楼件号- ,故可利用全微分方程的有关解法求其通解 解法1、在奖种连通说G内由于器器一月 表达式。+山+户 是笑看敌y游全微分，即红功a+h+产均
91 2 2 ) 2 2 ( c x cx x = x + = + 由 , 2 1 (1) = 得 C=2 故所求函数为： 2 2 2 1 2 1 2 2 ( ) ( ) 1 x x x x x x + = + = 或 例 6、设函数 f (x) 连续且满足方程： = + x tf t dt x f x 0 2 ( ) ( ) 试求 f (x) 解： 将积分方程两边对 x 求导得： xf (x) = 2x + f '(x) 即： f '(x) − xf (x) = −2x 这是一阶线性微分方程，其通解为： ( ) [ 2 ] 2 2 f x e xe dx c x xdx = − + − = (2 ) 2 2 2 2 e e c x x + − =2+ 2 2 x Ce 由 f (0) = 0得c = −2 ，故所求函数为： ( ) 2(1 ) 2 2 x f x = − e 说明：微分方程的初始条件 f(0)=0,通常由积分方程 = + x tf t dt x f x 0 2 ( ) ( ) 来确定 例 7：求微分方程： ) 0 1 ) ( 1 (cos 2 + + − dy = y x y dx y x 的通解。 分析：从方程的形式判断，它有可能是全微分方程型，令 ), 1 , ( 1 cos 2 y x y Q y p = x + = − 显然它满足全微分方程的充要条件 x Q y p = ，故可利用全微分方程的有关解法求其通解 解法 1、在某单连通域 G 内，由于 2 1 x y Q y p = − = 表达式： dy y x y dx y x ) 1 ) ( 1 (cos 2 + + − 是某函数 u(x,y)的全微分，即 dy y x y dx y du x y x ) 1 ) ( 1 ( , ) (cos 2 = + + −