北京大学工学院2026年9月22日星期二AHS5子空间定义10设ViV2是欧氏空间V的两个子空间，若VαeVi，VeV2,恒有(α,β) = 0则称V1，V2正交，记为Vi上V2一个向量αeV，若VβeVi,有（α,β）=0，则称α与子空间Vi正交，记为αlV1
§5 子空间 定义 10 2026年9月22日星期二
北京大学工学院2026年9月22日星期二由于VαeV有（O,α）=0,当VIV2时，设eViVi由IV1βe1V2,知β=0,从而VinV2={0},这说明V1+V2=V10 V2定理5如子空间V1,V2,..,Vs两两正交，则Zv=④Vi=1i=1
定理 5 1 1 s s i i i i V V = = = 2026年9月22日星期二
北京大学工学院2026年9月22日星期二定义11设V1,V2是V的子空间，若ViV2,且Vi+V2=V则称V是V2的正交补.同样V2称为Vi的正交补定理6欧氏空间V的每一个子空间V都有唯一的正交补记V的正交补为V，由定义可知dimVi+dimV=n推论V={α|αV}
定义 11 定理 6 推论 2026年9月22日星期二
北京大学工学院2026年9月22日星期二命题1) SOS+=V,则 S= (S+)2)SiCS2 ;3) (S1 +S2)=S S±4) (Si n S2)+= S+S2设AeRmxk,B=Rmxt,且满足R(B)=R(A),则将B记为A,于是R(A)=R(A)
命题 2026年9月22日星期二
北京大学工学院2026年9月22日星期二S6对称矩阵的标准形在第五章S2定理2（213页）中我们得到，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，即VA=AT，都有一个可逆的C，使CTAC成对角形.这一节主要结果为VA=ATERnxn,存在n级正交矩阵T使TT AT=T-1 AT成对角形
§6 对称矩阵的标准形 2026年9月22日星期二