向量空间一、向量空间及其子空间1.定义：设V是n维向量的非空集合，如果V对于向量加法及数乘两种运算封闭，即：Vα,βeV,keR,=α+βeV,kαeV则称集合V为n维向量空间.简称为向量空间例如：R3 = (α =(aj,a2,a3)a1,a2,a3 E R)Rn = (α = (ai,a2,...,an)lai,a2,...,an E R)Vi = (α= (O,a2,...,an )la2,..,an E R)V2 = (α = kja + k22 +...+ kmαmlki,k2, ., km E R)= L(α1, α2,..", αm)V3 = (α = (1,a2,..",an)]a2,...,an E R)
向量空间 一、向量空间及其子空间 1.定义：设V是n维向量的非空集合，如果V对于向量加法 及数乘两种运算封闭，即： , V, k R, + V, k V 则称集合V为n维向量空间,简称为向量空间。 例如： R = = a1, a2 a3 a1, a2 a3 R 3 ( , ) , R a a an a a an R n = = ( 1, 2 ,, ) 1, 2 ,, V1 = = (0 , a2 , ,an )a2 , ,an R V2 = = k1 1 + k2 2 ++ k m m k1 , k2 , , k m R V3 = = (1 , a2 , ,an )a2 , ,an R ( , , , ) = L 1 2 m
2.子空间：W、V为向量空间，若Wc V，则称 W是V的子空间。如 Vi = {α = (O a2,...,an)]a2,...,an E R)V2 = L(αi,α2,,αm）都是 Rn的子空间。例: i= L(α1, 2,,αm) V2= L(β1, β2,, βs)若α1,α2,,αm与β1,β2,…",β,等价，则Vi = V2只需证明VCV且ViV2向量空间的基与维数定义：若n维向量空间V中的向量组α1,α2,,αr满足α1,α2,…",α,线性无关;(i)(i）V中向量均可由αi,α2,,α,线性表示。则称αj,α2,,α,为V的一个基。基中所含向量个数r称为向量空间的维数
2.子空间：W、V 为 向量空间，若W V，则 称 W 是V 的子空间。 V1 = = (0 , a2 , ,an )a2 , ,an R V2 = ( , , , ) L 1 2 m 如 都是 R n 的子空间。 V1 ( , , , ) = L 1 2 m V2 ( , , , ) = L 1 2 s 例： 1 2 1 2 1 2 若 , , , m 与 , , , s 等价，则V =V 只需证明 V1 V2 且V1 V2 向量空间的基与维数 定义： 若n维向量空间V中的向量组1 ,2 , ,r 满足 (i) 1 ,2 , ,r 线性无关； (ii) V中向量均可由1 ,2 , ,r 线性表示。 则称1 ,2 , ,r 为V的一个基。 基中所含向量个数 r 称为向量空间的维数
Rn的维数为n；基为ej,e2,,en:Vi = (α =(O,a2,...,an)la2,..,an E R)的维数为n-l;基为e2，…,en;V2 = L(α1,α2，·,αm)的维数为α1,α2,···,αm的秩r(α1,α2,··, αm)基为α1,α2,,αm的极大无关组。若向量空间的基为αj,α2,α=V = L(αi,α2, .,αr)
R n 的维数为n； 的维数为 1； (0 , , ) , , 1 , 2 2 − = = n V a an a an R , , , ( , , , ). ( , , , ) 1 2 1 2 2 1 2 m m m r V L 的秩 = 的维数为 1 ,2 , , m 的极大无关组。 基为e1 , e2 , , en ； 基为e2 , , en ； 基为 若向量空间的基为 r , , , 1 2 ( , , , ) V = L 1 2 r
向量在基下的坐标定义：设αi,α2，,αr是向量空间V的基，αEV,且α = kjαj + k2α2 +...+k,αr则称系数kj，k2，，kr为α在基α}，α2，，αr下的坐标。注：1.向量在一组确定的基下的坐标是惟一的。（为什么？）2.向量空间的基不惟一。因此.向量在不同基下的坐标也不一样你能推导出向量在不同基下的坐标变换式吗？3.向量在一组基下的坐标如何求？一般有两种求法：待定系数法与矩阵方程法
向量在基下的坐标 r r = k1 1 + k2 2 ++ k 定义：设 r , , , 1 2 是向量空间V 的基， V,且 1 ，2 ，，r 下的坐标。 则称系数k1 ，k2 ，，kr 为在基 注：1.向量在一组确定的基下的坐标是惟一的。（为什么？） 2.向量空间的基不惟一。因此,向量在不同基下的坐标也不一样。 你能推导出向量在不同基下的坐标变换式吗？ 3.向量在一组基下的坐标如何求？ 一般有两种求法：待定系数法与矩阵方程法