《高等代数》与《线性代数》课程建设第八次研讨公福建省实二次型的合同标准形与正交标准形2007年6月30日
实二次型的合同标准形与 正交标准形 2007年6月30日
福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设第八次研讨会一、二次型的基本问题V(1)f(xi,x2,".,x,) =a.EPa.xxi=l（1）可被唯一表示为f(x,X,,x,)=X'AX, A=(a,)= A'e pn(2)基本问题：f(X,X2,,x,)= X'AX =Y'BY,其中X =CY, C 可逆(3)
福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设第八次研讨会 一、二次型的基本问题 1 2 1 ( , , , ) , n n ij i j ij i f x x x a x x a P = = （1） （1）可被唯一表示为 1 2 ( , , , ) ' , ( ) ' n n n ij f x x x X AX A a A P = = = （2） 基本问题： f x x x X AX Y BY ( , , , ) ' ' , 1 2 n = = 其中 X CY = , C 可逆（3）
福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设第八次研讨会常用的实二次型化简f=X'AX，A'=AeRxn(4)1) X'AX =dy? +...+d,y, -dp+iyp+ -n+D+其中X=CY，C可逆,d,>O，P,q为正、负惯性指数称（4）为实二次型的合同标准形2) X'AX =2y? +...+a,y, X =QY, Q'Q=E(5)（5）中,2，,，为实二次型的正交标准形
福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设第八次研讨会 常用的实二次型化简 ' , ' n n f X AX A A R = = 2） 2 2 1 1 ' , , ' X AX y y X QY Q Q E = + + = = n n n （5） （5）中 1 2 , , , n 为实二次型的正交标准形. 1） 2 2 2 2 1 1 1 1 ' X AX d y d y d y d y = + + − − − p p p p p q p q + + + + （4） 称（4）为实二次型的合同标准形. 0 i 其中 X CY = , C 可逆, , d 为正、负惯性指数. p q
福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设第八次研讨会-二、自前的教材处理情况1.北大教材[1]将基本知识分散处理于三部分①第五章二次型五节内容基本问题：合同标准形第九章欧几里得空间2距离远、联系差89.6实对称矩阵的标准形基本问题：正交标准形第十章双线性函数与辛空间3S10.3双线性函数
福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设第八次研讨会 二、目前的教材处理情况 1. 北大教材[1] ① 第五章 二次型 五节内容 基本问题：合同标准形 ② 第九章 欧几里得空间 §9.6 实对称矩阵的标准形 基本问题：正交标准形 ③ 第十章 双线性函数与辛空间 §10.3 双线性函数 将基本知识分散处理于三部分 距离远、联系差
福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设第八次研讨会2.张禾瑞、郝新：高等代数（第四版）[2]①第八章欧氏空间和酉空间88.4对称变换和对称矩阵基本问题：正交标准形第九章二次型289.1-S9.3基本问题：合同标准形89.4主轴问题、正交标准形福师大所编教材3的处理与[2]相似（只讲第六章二次型，第七章欧氏空间），[3另一个特点是二次型从简单的线性函数和双线性函数入门（也综合[1的较高的起点）：
福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设第八次研讨会 2. 张禾瑞、郝鈵新：高等代数（第四版）[2] ① 第八章 欧氏空间和酉空间 §8.4 对称变换和对称矩阵 基本问题：正交标准形 ② 第九章 二次型 §9.1-§9.3 基本问题：合同标准形 §9.4 主轴问题、正交标准形 福师大所编教材[3]的处理与[2]相似（只讲 第六章 二次型，第七章 欧氏空间），[3]另一个特点是二次型 从简单的线性函数和双线性函数入门（也综合[1]的较 高的起点）