线性代数 - 实对称矩阵的相似对角化

实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的特征值与特征向量的性质性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。设是n阶实对称矩阵A的特征值,α=（ai,α2,,an）是对应的特征向量,即Aα= ,α，两边取共轭，得：A=a (1) A=(aj)nxn,=(aj,d2,..,an)T,由于A为实对称阵，故A= A= AT（1）两端取转置，得：TATTTA=两端同时右乘A==(-)α=0 α= 0 :. =性质2：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向对一般矩阵，只能保证相异特征量必定正交值所对应的特征向量线性无关

实对称矩阵的相似对角化 一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质： ( ) , ( , , , ) , 1 2 T A = aij nn  = a a  an T 由于A为实对称阵，故A = A = A 性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。 设 是n阶实对称矩阵A的特征值,  （1）两端取转置，得： T T T  A =   两端同时右乘       T T   =    =   0 =  T 2 性质2：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向 量必定正交。 对一般矩阵，只能保证相异特征 值所对应的特征向量线性无关。 T a a an ( , , , )  = 1 2  是对应的特征向量,即A =  ，两边取共轭，得：    (1) A =  T T  A =        T T  A =   ( −  )  = 0 T  

例：设1,1，一1是三阶实对称方阵A的3个特征值α1=(1,1,1)T,α2 =(2,2,1)T是A的属于特征值1的特征向量，求A的属于特征值一的特征向量。设A的属于特征值-1的特征向量为α3=（xi，×2，x3)T:α3与α1,α2正交，,:.（α3,α)=（α3,α2)= 0Xi + X2 + X3 = 02x1 + 2x2 + x3 = 011A二福22X2=-Xix3 = 0 = α3 = (1, - 1,0)T

征向量，求 的属于特征值 的特征向量。 （，） （ ，）是 的属于特征值的特 例：设 ， 是三阶实对称方阵 的 个特征值， 1 111 , 2 2 1 1 11 1 3 1 2 − = = − A A A T T   1 , 3 1 2 3 T 设A的属于特征值− 的特征向量为 =（x ，x ，x ） 3 与1 ,2 正交，    + + = + + =  2 2 0 0 1 2 3 1 2 3 x x x x x x         = 2 2 1 1 1 1 A         − → 0 0 1 1 1 1         → 0 0 1 1 1 0    = = −  3 0 2 1 x x x （， ，）T 3 = 1 −1 0 （3 ,1 ）=（3 ,2 ）= 0

性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无关的特征向量恰有k个由此推出：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似，二、实对称矩阵的相似对角化：定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似实对称矩阵A一定与对角矩阵正交相似定理2：21-2(1)求可逆阵P，使P-1AP为对角阵例1：设A=-24-2-224(2)求正交阵Q，使Q-IAQ为对角阵。2-21-24-2A-ZE-2-元=-(-2)(元+7)24-2-元

性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无 关的特征向量恰有k个。 由此推出：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。 二、实对称矩阵的相似对角化： 定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。 求正交阵 ，使 为对角阵。 例 ：设 ， 求可逆阵 ，使 为对角阵。 Q Q A Q A P P A P 1 1 (2) (1) 2 4 2 2 2 4 1 2 2 1 − −           − − − − =     − − − − − − − − = 2 4 2 2 2 4 1 2 2 A E ( 2) ( 7) 2 = −  −  + 定理2：实对称矩阵A一定与对角矩阵正交相似

二元=元=2,元=-751=(-2,1,0),52 =(2,0,1) 为属于特征值2的线性无关的特征向量。2,=-7的特征向量为3=(1,2,-2)221(-22=P-1AP=△=2P=(5i 52 53)=01-70-21将i =(-2,1,0),2 =(2,0,1)正交化，得:β=5=(-,,)r,β=5 -β)β=-(,,)(β,β )再单位化，得：24520，n =(-3V5'3/5'3V5221. 将5,=(1,2,-2)单位化，得：n33'33

2, 7.  1 = 2 = 3 = − T T ( 2,1,0) , (2,0,1) 1 = −  2 =7 (1 2 2) . 3 3 T  = − 的特征向量为 = ，− 为属于特征值 2的线性无关的特 征向量. ( )   − − = = 0 1 2 1 0 2 2 2 1 P 1  2  3   −  =  = − 7 2 2 1 P AP 将1 = (−2,1,0)T , 2 = (2,0,1)T 正交化，得： 再单位化，得： T T) 3 55 , 3 54 , 3 52 ,0) ( 51 , 52 ( 1 = − ，2 = T T = = ( − , , ) = − b = ( , , ) b b  b b  b  （ ， ） （ ， ） ， . 32 32 31 (1 2 2) 3 3 将 ， T 单位化，得： （ ， ）T  = −  = −

21.2-3V53V524= (nin2n3)=V53V532503V5322Q-AQ=Λ=用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤

( )                   − − = = 3 2 3 5 5 0 3 2 3 5 4 5 1 3 1 3 5 2 5 2 Q 1 2 3           −  =  = − 7 2 2 1 Q AQ 用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤：