例5所有二阶实矩阵组成的集合V,对于矩阵 的加法和数量乘法,构成实数域R上的一个线性 空间.对于V中的矩阵 10 01 E11= E12= 00 00 00 00 E21= E22= 10 01 有 k1E1+k2E12+k3E21+k4E2= k3 kk 上页
= = = = 0 1 0 0 , 1 0 0 0 , 0 0 0 1 , 0 0 1 0 2 1 2 2 1 1 1 2 E E E E , 3 4 1 2 1 1 1 2 1 2 3 2 1 4 2 2 + + + = k k k k k E k E k E k E 有 例5 所有二阶实矩阵组成的集合 ，对于矩阵 的加法和数量乘法，构成实数域 上的一个线性 空间．对于 中的矩阵 V V R
因此 k1E1+k2E12+k3E21+k;E=O(00 00 今 k1=k2=k3=k3=0, EI 912921922 2线性无关 对于任意二阶实矩阵 1112 A= 2122 上页
, 0 0 0 0 1 1 1 2 1 2 3 2 1 4 2 2 k E + k E + k E + k E = O = 因此 , 2 1 2 2 1 1 1 2 V a a a a A = 对于任意二阶实矩阵 0, k1 = k2 = k3 = k3 = , , , . 即E1 1 E1 2 E2 1 E2 2线性无关
有 A=a1E1+a1E1+a21E21+a2E22 王因此En,EBE,E2为的一组基 而矩阵A在这组基下的坐标是 工工工 111221922) 上页
, , , . 因此 E1 1 E1 2 E2 1 E2 2为V的一组基 A a1 1E1 1 a1 2E1 2 a2 1E2 1 a2 2E2 2 = + + + 有 ( , , , ) . a1 1 a1 2 a2 1 a2 2 A T 而矩阵 在这组基下的坐标是
平例实数域R上所有一元多项式的集合记作Rx Rx中次数小于n的所有一元多项式(包括零多项 式)组成的集合记作Rxln,它对于多项式的加法和 数与多项式的乘法,构成R上的一个线性空间 在线性空间Rl中取一组基 1=1,82=(x-a)、,=(x-a 2 99n =(x-a)”1 则由泰勒公式知 f(x)=f(a)+f"(a)x-0)+2!(x-a)2 n 十∴ 1 (n-1)! (x-a) 上页
, . ) [ ] , [ ] ( , [ ], 数与多项式的乘法 构成 上的一个线性空间 式 组成的集合记作 它对于多项式的加法和 中次数小于 的所有一元多项式 包括零多项 实数域 上所有一元多项式的集合 记作 R R x R x n R R x n 例 6 1, ( ), ( ) , , ( ) [ ] , 1 n 2 1 2 x a 3 x a x a R x n n = = − = − = − − 在线性空间 中 取一组基 则由泰勒公式知 ( ) ( 1)! ( ) ( ) 2! ''( ) ( ) ( ) '( )( ) 1 ( 1) 2 x a n f a x a f a f x f a f a x a n n − − + + = + − + − − −
因此f(x)在基61,E2,3,…,En下的坐标是 (f(a),f"(a), f"(a)∫(a) 2! (n-1) 上页
) . ( 1)! ( ) , , 2! ''( ) ( ( ), '( ), ( ) , , , , ( 1) T 1 2 3 − − n f a f a f a f a f x n n 因此 在基 下的坐标是