上例1在线性空间P中,;=(0,0)E2=(0, &n (0,0,…,1就是它的一个基称为自然基或标 准基,且dimP"=n. 例2在线性空间中p=1,2=xP=x2 牛P.=x”航是它的一个基且dmP=B 上页
( ) ( ) ( ) dim . , 0,0, ,1 , , 1,0, ,0 , 0,1, ,0 , 1 2 P n P n n n = = = = 准基，且 就是它的一个基 称为自然基或标 在线性空间 中 例 1 , dim [ ] . [ ] , 1, , , , 1 2 1 2 3 P x n P x x n n n n p x p p p x = = = = = − 就是它的一个基 且 例 2 在线性空间 中
例3在线性空间P中,令 0 0 E 0 1…0←第i : 0 第例列 Enm就是它的一个基且dmPm=mxn 上页
第 行 第 列 i j Eij = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 例3 在线性空间P mn中,令 , dim . 1, , E 1, , P m n m n j n ij i m = = 则 = 就是它的一个基 且
定义3设a1,a2,…,a是线性空间v的一个基对 于任一元素a∈Vn,总有且仅有一组有序 数 x1X2,…yn 使 c=X1C1+x202+…+n2Cn 有序数组x,x2,…,x称为元素a在ax1,a2,…,an这个 工工工 基下的坐标,并记作a=(x1,x2,…,xn) 上页
, = x11 + x2 2 ++ xn n , ( , , , ) . , , , , , , 1 2 1 2 1 2 n T n n x x x x x x = 基下的坐标 并记作 有序数组 称为元素 在 这 个 数 使 于任一元素 总有且仅有一组有序 设 是线性空间 的一个基 对 , , , , , , , , , 1 2 1 2 n n n n x x x V V 定义 3
2 例4在线性空间Px中,p1=1,P2=x,P3=x 4 x,P5=x就是它的一个基 任一小于5次的多项式 p=ax tax tax +arxtao 可表示为 P=aoP+a2 P3+ a3 P4+a4 p5 因此p在这个基下的坐标为 01,2394 上页
, . [ ] , 1, , , 4 5 3 4 2 1 2 3 5 就是它的一个基 在线性空间 中 x p x P x p p x p x p = = 例 4 = = = p a x a x a x a1 x a0 2 2 3 3 4 4 5 = + + + + 任一小于 次的多项式 p a p a p a p a p a p 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 = + + + + 可表示为 ( , , , , ) a0 a1 a2 a3 a4 p T 因此 在这个基下的坐标为
若取另一基q1=1,q2=1+x,q3=2x2,q4=x, Aqs=x:,则 P=(aoa1)1+a142+,a243+a3q4+a4q5 A因此尸在这个基下的坐标为 T (a0-a1,a1,a2,a3,a4 工工工 2 注意线性空间的任一元素在不同的基下所对的 坐标一般不同,一个元素在一个基下对应的坐标是 唯一的. 上页
注意 则 若取另一基 , 1, 1 , 2 , , 4 5 3 4 2 1 2 3 q x q q x q x q x = = = + = = p a a q a q a q a q a q 0 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 2 1 = ( − ) + + + + , , ) 2 1 ( , , a0 a1 a1 a2 a3 a4 p T − 因此 在这个基下的坐标为 线性空间 的任一元素在不同的基下所对的 坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是 唯一的． V