第6页第五章留数及其应用cos 20例2 1=[。1d0(0<p<1)1-2pcos+p解：由于0<p<1,故1-2pcos+p2±0.令z=ei,则-i0eio+ecosO =221e2i-2i0+ecos20 =21+72z2 +1z=2D2z结回D束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第6页 解： 2 2 0 cos 2 (0 1). 1 2 cos I d p p p = − + 例2 令 z = e i ,则 0 1, 1 2 cos 0. 2 由于 p 故 − p + p ), 1 ( 2 1 2 cos 2 2 2 2 2 z z e e i i = + + = − ), 1 ( 2 1 2 cos z z e e i i = + + = − dz i z p z z p z z I z = − + + − + = 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2
第7页第五章留数及其应用1+ zf f(z)dz.dz =4, 21 2(1- p2)(z- p)[z/=1f(z)在lzl=1内有两个极点z =0(2级极点)z=p(单极点)法则1于是1+ p4Re s[f(z), pl lim(z- p) f(z)2i p(1-p")1+z4Re s[f(z), O] =lim[z f(z)]: liml2i(1- pz)(z - p)01 + p2法则22i p?2元p21+ p41+因此 =2元i[1- p2i p(1-p2)2ip结束00运回
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第7页 4 2 0 0 1 Re [ ( ),0] lim[ ( )]' lim[ ]' 2 (1 )( ) z z z s f z z f z → → i pz z p + = = − − ( ) | | 1 0(2 ), ( ) f z z z z p = = = 在 内有两个极点 级极点 单极点 ， = = = − − + = 1 | | 1 2 4 ( ) . 2 (1 )( ) 1 z z dz f z dz i z pz z p z 于是 Re [ ( ), ] lim( ) ( ) z p s f z p z p f z → = − 因此 4 2 2 2 2 1 1 2 [ ] 2 (1 ) 2 p p I i i p p i p + + = − − 4 2 2 1 , 2 (1 ) p i p p + = − 2 2 1 , 2 p i p + = − 2 2 2 . 1 p p = − 法则1 法则2
第8页留数及其应用第五章P元cos mxdx=？m为正整数思考：I5-4cosx0提示：令z=e,则ei +e-ixmixmixe+e(z+-)cosx :cosmx22227z2m +12元cosmx= Φ f(z)dz.d7dx8 Jiz/=15-4cosx2J0z/=1zm(z-2)(z -1f(z)在|z=1内有两个极点z=0(m级极点),z==(单极点),.2iRe s[f(z),l= lim(z-2127Re s[f(z), O] :2m元I =2元i(-2-m +2+223.2m12结00回束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第8页 ? . 5 4cos cos 0 思考： dx m为正整数 x mx I = − = 2 [ ( 2 2 ) (2 2 )] . 12 12 3 2 m m m m m i i I i − − = − + − + = 1 1 cos ( ), 2 2 ix ix e e x z z − + = = + 1 1 cos ( ), 2 2 mix mix m m e e mx z z − + = = + 2 0 1 cos 2 5 4cos m x I dx x = − 2 | | 1 1 8 1 ( 2)( ) 2 m z m i z dz z z z = + = − − 1 1 0 2 f z z z m z ( ) | | ( ), ( ) 在 = = = 内有两个极点 级极点 单极点 ， | | 1 ( ) . z f z dz = = , ix 提示： 令 z e = 则 1 2 1 1 2 2 / Re [ ( ), ] lim ( ) ( ) z s f z z f z → = − (2 2 ) 12 i m m− = − + Re [ ( ), ] s f z 0 = ( 2 2 ) 12 i −m m − +