长江大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件）第5章 离散系统的Z变换分析 5.1 Z变换及收敛域 5.2 Z变换的性质 5.3 反Z变换

例5.3慧tJo求序列f(k)=(1/3)Al的Z变换7平面解: F()=Z()=t =()*=*+()*=-kk=06Z(=)*+()收敛域k=lk=0z<3时，第一项收敛于对应于左边序列[z>1/3时，第二项收敛于，对应于右边序列。2当当4Ek3时：F(C)-号+（-3-)3零点：0，极点：3，1/3泰大学电信学院

电信学院 6 例 5.3 求序列 f(k)= (1/3)|k| 的Z变换。 解：  3 0 1 收敛域  Z平面     = − − =− − −  =− − = = + 0 3 1 1 3 1 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k k k k k F z z z z    =  = = + 0 3 1 1 3 1 ( ) ( ) k k z k k z 3 1 z − z |z|>1/3时，第二项收敛于 ，对应于右边序列。 j |z|<3时，第一项收敛于 ，对应于左边序列。 − 3 − z z | | 3 3 1 当  z  时： 3 ( 3)( ) ( ) 3 1 3 8 3 1 − − − = − + − − = z z z z z z z F z 零点：0，极点：3，1/3 3 

Z变换的收敛域营收敛域内不包含任何极点，在极点处，F(z)为无穷大，Z变换不收敛。f(k)各子信号的z变换存在不同收敛域时，取其公共部分（重叠部分）为其收敛域。若无公共收敛域，z变换不存在。对于单边z变换，反变换是唯一的；确定反变换不必标出收敛域。为此，在单边z变换中一般不给出收敛域。吴山大学电信学院

电信学院 7 Z变换的收敛域 ⚫ 收敛域内不包含任何极点，在极点处，F(z)为无穷 大，Z变换不收敛。 ⚫ f(k)各子信号的z变换存在不同收敛域时，取其公 共部分（重叠部分）为其收敛域。若无公共收敛 域，z变换不存在。 ⚫ 对于单边z变换，反变换是唯一的；确定反变换不 必标出收敛域。为此，在单边z变换中一般不给出 收敛域

几个常用信号的Z变换儿单位冲激函数8(k) ← 1指数函数ake(k)<z>az-a(k)[z/>1Z-12ejBke(k)<[z/>1z-ejB吴江大学电信学院

电信学院 8 几个常用信号的Z变换 ⚫ 单位冲激函数 (k)  1 ⚫ 指数函数 z a z a z a k k  −  ( )  | | | | 1 1 ( )  −  z z z  k ( ) | | 1 −  z z e z e k j j k   

5.2Z变换的性质返回尺度变换a f(k)-Fa移序性质●单边序列f(k-m)c(k -m)<z-"F(z)f(k-m)e(k)-="[F(2)+ Z(k)="]k=-mf(k +m)e(k) -z"[F(2)-f(k)zh]k=0吴江大学电信学院

电信学院 9 5.2 Z变换的性质 返回 ⚫ 尺度变换        a z a f k F k ( ) ⚫ 移序性质 ◆单边序列 f (k m) (k m) z F(z)  −m −  −  − =− − − −  + 1 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] k m m k f k m  k z F z f k z  − = − +  − 1 0 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] m k m k f k m  k z F z f k z

例5.4慧正弦函数sinβk-e(k)1(eiBke-iBk)e(k)sin βk·ε(k)2j1 z(z-e-ii)-z(z-eiβN%[sin βk-ε(k)] z-e-jz-eB2j=2-z(eiB +e-i)+12jzsin β[z>122 -2zcos β+1余弦函数cosβk·8(k)z(z-cos β)同理可证：cos βk·ε(k)<[=>12-2zcos β+1吴江大学电信学院

电信学院 10 例 5.4 ⚫ 正弦函数 sink·(k) ( ) ( ) 2 1 sin ( ) e e k j k k j k j k     −   = − ⚫ 余弦函数 cosk·(k) 同理可证： | | 1 2 cos 1 ( cos ) cos ( ) 2  − + −   z z z z z k k     ( ) 1 ( ) ( ) 2 1 2 1 [sin ( )] 2 − + + − − − =        − − −  = − − −         j j j j j j z z e e z z e z z e z e j z z e z j Z k k | | 1 2 cos 1 sin 2  − + = z z z z  