长江大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件）第7章 连续信号的傅里叶变换分析 7.3 周期信号的傅里叶变换 7.4 傅里叶反变换

具Parseval定理F(jo)do--F(jo)do[/ f(t) dt =2元时域求得的信号能量频域求得的信号能量上式是非周期信号的能量等式，是Parseval定理在非周期信号时的表示形式。所以，信号能量可以从时域中求得也可以从频域中求得。吴山大学电信学院

电信学院 1 Parseval定理    −  − =    f t dt F j d 2 2 ( ) 2 1 | ( ) |   = 0 2 ( ) 1    F j d 上式是非周期信号的能量等式，是Parseval 定理在非周期 信号时的表示形式。所以，信号能量可以从时域中求得， 也可以从频域中求得。 时域求得的信号能量 频域求得的信号能量

例7.12具sin 5t的能量。求信号f(t)=2cos997t元t解：已知：1 0059971-[6(α-997)+ (0+99)] G (0) -TSa()元根据对偶特性: TSa()一 2元G,(0) 令t=10 10Sa(51)- 2元G(0)210sin5t工cos997tcos997t·10Sa(5t)f(0) =5t元元1根据频域卷积定理：F(jの)=2元G(@)*[8(@ -997) + 8(0 +997)]2元=Gio(@ - 997)+Gio(0 +997)信号的能量为：-F(0) do--[F(j0) do-10E-[f() dt =21吴山大学电信学院

电信学院 2 例 7.12 求信号 的能量。 t t f t t  sin 5 ( ) = 2cos997  解：已知： cos997 [ ( 997) ( 997)] 1    − +   +  t ) 2 ( ) (   G t  Sa cos997 10 (5 ) 1 5 sin 5 cos997 10 ( ) t Sa t t t f t = t  =     根据频域卷积定理： 信号的能量为： 根据对偶特性： ) 2 ( ) 2 (     G t Sa  10 (5 ) 2 ( ) 令 =10 Sa t  G10  ( 997) ( 997) 2 ( ) [ ( 997) ( 997)] 2 1 ( ) 1 0 1 0 1 0 = − + + =   − + +           G G F j G E f t dt F j d F j d J        10 ( ) 1 ( ) 2 1 [ ( )] 0 2 2 2 = = = =      −  −

例7.13广求信号f(t)=e-ate(t)的能量。确定有效带宽r(rad/s)，使得有效带宽内(の<）的频谱分量所贡献的能量是信号能量E的95%。解 信号的能量是 E-[f"(t)dt=[。e-2a"dt=00这个结果表明，0~0的频谱分量含有信号总能量的95%。而余下的频谱分量仅有信号能量的5%大多数信号能量都是包含在某个频带の之内这个带宽就称为信号的有效带宽arctan二arctan-2a元J00元aa元a+a0Q0.95元=12.7062aOB = a tan(2吴大学电信学院

电信学院 3 例 7.13 ⚫ 求信号f(t)=e-at(t)的能量。确定有效带宽B(rad/s)，使得有 效带宽内(||<B )的频谱分量所贡献的能量是信号能量E的 95%。 ⚫ 解 信号的能量是 a E f t dt e dt at 2 1 ( ) 0 2 2 = = =    −  − j a F j + =   1 ( )  = B E F j d     0 2 1 ( ) 1 根据题意 ( ) 0.95 1 2 0 2 1 = =  B a F j d E E     a a a a a d a B B B          arctan 1 arctan 1 1 2 0.95 0 0 2 2 = = + =  a a B ) 12.7062 2 0.95 = tan( =   这个结果表明，0~B的频谱分量含有信号总能量 的95%。而余下的频谱分量仅有信号能量的5%。 大多数信号能量都是包含在某个频带B之内， 这个带宽就称为信号的有效带宽

7.3周期信号的傅里叶变换傅里叶变换可以推广至周期信号，其目的是把周期与非周期信号的分析统一起来虽然周期信号不满足绝对可积条件，但周期信号的傅里叶变换可以通过冲激函数表达出来，这也反映了周期信号的离散性，除了将幅度频谱画作冲激之外，周期信号的傅里叶变换与其傅里叶级数的系数的双边频谱相似。爱山大学电信学院

电信学院 4 7.3 周期信号的傅里叶变换 ⚫ 傅里叶变换可以推广至周期信号，其目的是把周 期与非周期信号的分析统一起来， ⚫ 虽然周期信号不满足绝对可积条件，但周期信号 的傅里叶变换可以通过冲激函数表达出来，这也 反映了周期信号的离散性。 ⚫ 除了将幅度频谱画作冲激之外，周期信号的傅里 叶变换与其傅里叶级数的系数的双边频谱相似

具正弦信号的傅里叶变换考虑余弦信号f(t) = cos(の,t + 0)cos 0,t - 元[S( +0.) +S(0 - 0.)]品，有根据时移性质，t→t+006Ocos(0,t +0) 元[s(0 +0.) +s(0-0.lecos(0t + 0) - 元[8(0 + 0.)e-j0 + S(α - 0.)ei9]t |F(jo)to(o)10（元）（元）000000o0o吴江大学电信学院

电信学院 5 正弦信号的傅里叶变换 ⚫ 考虑余弦信号 ( ) cos( ) f t = 0 t + cos [ ( ) ( )] 0     +0 +  −0 t 根据时移性质， 0  t → t + ，有             0 cos( ) [ ( ) ( )] 0 0 0 j t +  + + − e cos( ) [ ( ) ( ) ] 0 0 0            j j t +  + e + − e −  F( j) 0 0 0 − ( ) ( ) ()  − 0  0 −0