长江大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件）第2章 连续系统的时域分析 2.6 系统的互联 2.7 相关及其应用 2.8 卷积与变换法

服卷积的解析计算门函数的表示s(t-l)e(t-t+3)c(t +1)c(3-t)c(t)s(1-t)30010t+3f(t)= x()s(t-1) f(t) = x()s(t -l)h(t) = w(.)c(t +3) h(t -t) = w()e(t - t +3)[ ()e(t- 1)e(t-T +3)dt =[/ ()dtle(t+2)=(积分结果)c(t+2)吴山大学电信学院

电信学院 1 卷积的解析计算 ⚫ 门函数的表示 t 0  (t) (1−t) 1 1 t 0  (t +1) (3−t) 3 1 −1  0  ( −1) (t − +3) t +3 1 1 ( ) ( 2) (.) ( 1) ( 3) [ (.) ] ( 2) 3 1 = + − − + = +    + − t t d d t t         积分结果 f (t) = x(.) (t −1) f ( ) = x(.) ( −1) h(t) = w(.) (t +3) h(t − ) = w(.) (t − + 3)

例2.8线性非时变系统的输入信号f(t)和冲激响应h(t)由下列各式给出，试求系统的零状态响应。f(t) = e-0.5i[e(t) - 8(t - 2)]h(t) = es(t)解 y (t)= f(0)* h(t)= [e-05'[e(t)-e(T - 2)le (-1)s(t-T)dt-Je-0re-(-e(t)e(t-)dt-"e-0s"e-(-e(t-2)e(t-)dt[e Je0s'dt]e(t)-[e"J,eos'dt e(t-2)= 2(e-051 -e- e(0) -2(e-051 -e (- )e(1- 2)吴山大学电信学院

电信学院 2 例 2.8 ⚫ 线性非时变系统的输入信号f(t)和冲激响应h(t)由下 列各式给出，试求系统的零状态响应。 ( ) e  ( ) ( 2) 0.5 = − − − f t t t t   h(t) e (t) t  − =   − − − − =  =   −  −  −    y t f t h t e e t d t z s( ) ( ) ( ) [ ( ) ( 2)] ( ) 解 0.5 ( )    − − − −  − − − − =    −  −   −  −      e e t d e e t d t t ( ) ( ) ( 2) ( ) 0.5 ( ) 0.5 ( ) [ ] ( ) [ ] ( 2) 2 0.5 0 0.5 = − −   − − e e d t e e d t t t t t       2(e e ) ( ) 2(e e ) ( 2) 0.5 0.5 ( 1) = − − − − − − − − − t t t t t t   2

卷积积分的性质卷积的代数性质交换律: fi(t)*f2(t)=f2(t)*fi(t)分配律 : fi(t)*[f2(t)+f3(t)]=fi(t)*f2(t)+fi(t)*f3(t)结合律 : [fi(t)*f2(t))*f3(t)=fi(t)*[f2(t)*fs(t)]卷积的微分与积分性质微分性质 : f(t)= f(t)* f(t)=f(t)*f,(t)积分性质 : f(-"(t)= fi(t)* f2-"(t)=(-"(t)* f,(t)微积分性质 ： f(t) =f(-"(t)* f’(t)=fi(t)* f2-"(t)吴江大学电信学院

电信学院 3 卷积积分的性质 ⚫ 卷积的代数性质 ◆交换律：ƒ1(t)ƒ2(t)=ƒ2(t)ƒ1(t) ◆分配律：ƒ1(t)[ƒ2(t)+ƒ3(t)]=ƒ1(t)ƒ2(t)+ƒ1(t)ƒ3(t) ◆结合律：[ƒ1(t)ƒ2(t)]ƒ3(t)=ƒ1(t)[ƒ2(t)ƒ3(t)] ⚫ 卷积的微分与积分性质 ◆微分性质： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f  t = f t  f  t = f  t  f t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( 1) 1 ( 1) 1 2 ( 1) f t = f t  f t = f t  f t − − − ◆积分性质： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) 2 1 2 ( 1) 1 f t f t f t f t f t − − ◆微积分性质： =   =  

卷积积分的性质时移性质若fi(t)* f2(t)=f(t) ,则有fi(t-ti)*f2(t-t2)=f(t-ti-t2) 含有冲激函数的卷积f(t)=f(t)*o(t) f(t-to)=f(t)*o(t-to)f(t)*o'(t)=f'(t), f(t)*8"'(t)=f "(t), ..与阶跃函数的卷积即: f(t)*ε(t)=f(t)dt利用卷积积分的性质来计算卷积积分可使卷积积分的计算大大简化，下面举例说明。吴山大学电信学院

电信学院 4 卷积积分的性质 ⚫ 时移性质 ◆若ƒ1(t)ƒ2(t)=ƒ(t)，则有ƒ1(t-t1)ƒ2(t-t2)=ƒ(t-t1-t2)， ⚫ 含有冲激函数的卷积 ◆ ƒ(t)=ƒ(t)(t)，ƒ(t-t0)=ƒ(t)(t-t0)， ◆ ƒ(t)'(t)=ƒ'(t), ƒ(t)''(t)=ƒ"(t),  ⚫ 与阶跃函数的卷积 ◆即： f t  t f  d t ( ) ( ) ( ) −  = 利用卷积积分的性质来计算卷积积分， 可使卷积积分的计算大大简化， 下面举例说明

例2.8慧利用卷积的微积分性质 f(t)=f(-(t)* f(t)= f(t)* f-"(t)计算.f2(t)f(t)= fr-(t)* f.(t)0f（t)()0吴江大学电信学院

电信学院 5 例 2.8 利用卷积的微积分性质 f (t) = f 1 (−1) (t)  f 2 (t) = f 1 (t)  f 2 (−1) (t) 计算。 t 0 1 ( ) 1 f t 1 t 0 2 1 ( ) 2 f t 1 2 3 t 0 1 ( ) ( 1) 1 f t − 1 t 0 ( ) 2 f  t 1 3 2 ( ) 2 1 t 0 ( ) ( ) ( ) 2 ( 1) 1 f t = f t  f  t − 1 2 1 2 3 4