第三章·62.复变函数的积分定理3.3设函数（）在单连通区域I)V内解析，与，为D内任意两点，C与C2为连结与的积分路线，CC，都含于D（图3.3），则f(z)dz=/(z)dz大O即当f为D的解析函数时积分与路线无关，而仅由积分路线的起点之。与终点来确定，图3. 3证依柯西积分定理f(z)da--f()df(z)dz = 0,ct所以定理3.3成立sind，其中（是圆周|-1=1的上半周，例3.6计算积分走向从0到2.解因sin是全平面上的解析函数，由柯西定理，它的积分与路线无关.于是可以换一条路线，例如取C为沿实轴从0到2.这样便有sin zdesin zdzsin rdr = 1- cos 2.下面把柯西定理推广到多连通区域。定理3.4设C,与Cz是两条简单闭曲G线，C,在C的内部.f(z）在C与C所围的D二连域D内解析，而在D一D十C,十C上连续（图3.4），则0$ f(z)dz =$ f()dz(3. 7)J C,C证在D内作简单光滑孤AB和CD，连结C,和C,（图3.4），将D分成两个单连通图3.4
S3.2柯西积分定理.63.区域D:和D.D以ABGCDHA为边界，记作LD,以AEIXPBA为边界，记作L根据定理的条件，/（）在D，和D上连续，而在D，和D.内解析，由定理3.2.得f()dz=0,f(z)dz= 0;叉由于f(z)dz +(2)dz=0,f(α)dz --f(z)d=0.于是有f(z)dz+Φ f(z)dz = 0,即（3.7）式成立（3.7）式说明，在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.这一事实，称为闭路变形原理.推论（复合闭路定理）设（为多连通域D内的一条简单闭曲线。DC，C，，C是在（内部的简单闭OC曲线，它们互不包含也互不相交，并且以CCz，.C为边界的区域全含于D图3.5）.如果f（）在D内解析，则有图3.5+f(2)df()dz)(3.8)其中C及C.均取正方向；f()dz= 0这里F为由（及C+（k=1，2，*，n）所组成的复合闭路（其方向是：C按逆时针进行，C按顺时针进行）