《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型 §5.3 相似矩阵

第五章相似矩阵与二次型 二、方阵可对角化的条件 定理5.3.2阶方阵4可对角化的充要条件是 A有个线性无关的特征向量。 证明假设存在可逆阵P,使PAP=人为对角阵， 把P用其列向量表示为P=[p,P2,.,Pn] 由P-1AP=A,得AP=PA, 即A[p,p2,p]=[p,P2,.p =[p1,2P2,.,nPn

第五章 相似矩阵与二次型 证明 1 P P AP , , − 假设存在可逆阵 使 = 为对角阵 1 2 , , , . P P p p p = n   把 用其列向量表示为   . 5.3.2 n A A n 阶方阵 可对角化的充要条件是 有 个线性无关的特 定 征向量 理 二、方阵可对角化的条件 1 2 1 2 1 2 , , , , , , n n n A p p p p p p              =          即 1 1 2 2 , , , . n n =      p p p   , , 1 =  =  − 由P AP 得AP P

第五章相似矩阵与二次型 ∴A[乃，P2,.,pn]=[Ap1,Ap2,.,pn] =[p1,3P2,.,nPn] 于是有Ap,=2P,(i=1,2,.,n): 可见2是A的特征值，而P的列向量卫，就是 A的对应于特征值，的特征向量. 又由于P可逆，所以p,P2,.,pn线性无关. 反之，由于A恰好有个线性无关的特征向量， 这个特征向量即可构成可逆矩阵P,使P-AP=A

第五章 相似矩阵与二次型 1 2 1 2 1 1 2 2 , , , , , , , , , n n n n A p p p Ap Ap Ap    p p p  =         =     ( 1,2, , ). 于是有 Ap p i n i i i = =  , . i i i A P p A   可见 是 的特征值 而 的列向量 就是 的对应于特征值 的特征向量 1 2 , , , , . 又由于P p p p 可逆 所以 n 线性无关 1 , , , . A n n P P AP − =  反之 由于 恰好有 个线性无关的特征向量 这 个特征向量即可构成可逆矩阵 使