沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第4章 不定积分 4.2 积分法（2/2）分部积分法

分部积分法分部积分过程：「u'dx=「udv=uv-「vdu=uv-{u'vdx=..例7 求[e* sin xdx .解 因为[e" sin xdx = [sin xde' =e' sinx-[e'd sinx=e* sin x-[e* cos xdx =ex sinx-[cos xdex=e"sinx-e"cosx+|e"dcosx=e' sinx-e*cosx+[e*dcos x=e' sinx-e* cosx-[e* sinxdxe"sin xdx=所以(sin x-cosx)+C20101001x上页下页目录返回结束

解 因为 例例77求 e xdx x sin  .    e xdx  xde e x e d x x x x x sin sin sin sin       x x x x e sin x e cos xdx e sin x cos xde  e xe x e d x x x x sin cos cos  e xe x e d x x x x sin cos cos  e xe x e xdx x x x sin cos sin , 所以 e xdx e x x C x x     (sin cos ) 2 1 sin .    e xdx  xde e x e d x x x x x sin sin sin sin    e xdx  xde e x e d x x x x x sin sin sin sin       x x x x e sin x e cos xdx e sin x cos xde              分部积分过程：uv dx udv uv vdu uv u vdx . 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法

分部积分法分部积分过程：「u'dx=「udv=uv-「vdu=uv-{u'vdx=..例8 求[sec3 xdx .解 因为[ sec3 xdx = [ sec x·sec? xdx = [ sec xd tan x= sec x tan x- [ sec x tan ? xdx= sec xtan x-[ sec x(sec2 x-1)dx= sec x tan x- [ sec3 xdx +[ sec xdx= sec x tan x+ln|sec x+tan x|-[sec3 xdx ,所以[sec3 xdx (secxtan x+ln|secx+tanxD+Clolololx目录上页下页返回结束

             分部积分过程：uv dx udv uv vdu uv u vdx . 解 因为 例例88求  xdx 3 sec .    sec xdx  sec xsec xdx  sec xd tan x 3 2   x x x xdx 2 sec tan sec tan  sec xtan x sec x(sec x1)dx 2   sec xtan x sec xdx sec xdx 3   x x x x  xdx 3 sec tan ln|sec tan | sec , 所以  xdx 3 sec  (sec xtan xln|sec xtan x|)C 2 1 .    sec xdx  sec xsec xdx  sec xd tan x 3 2    sec xdx  sec xsec xdx  sec xd tan x 3 2 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法

分部积分法分部积分过程：「u'dx=「udv=uv-「vdu=uv-{u'vdx=..例9求 ( sin(In x)dx.解sin(ln x)dx= x sin(ln x) - ( xd[sin(ln x)]= x sin(ln x) - J xcos(ln x). = dxx= x sin(ln x) - x cos(ln x) + xd[cos(ln x)]sin(ln x)dx= x[sin(In x) - cos(ln x)]Xsin(ln x)dx=[sin(ln x)- cos(ln x)l + C2ellol0x目录上页下页返回结束

例9 求 sin(ln ) .  x dx 解 sin(ln x)dx   xsin(ln x)  xd[sin(ln x)]     dx x x x x x 1 sin(ln ) cos(ln )   xsin(ln x)  xcos(ln x)  xd[cos(ln x)]   x[sin(ln x)  cos(ln x)] sin(ln x)dx sin(ln x)dx [sin(ln ) cos(ln )] . 2 x x C x                 分部积分过程：uv dx udv uv vdu uv u vdx . 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法

分部积分法分部积分过程：「uv'dx=「udv=uv-「vdu=uv-[u'vdx=..求[evxdx.例10解法一令x=2,则dx=2tdt.于是[ev×dx =2[te'dt=2e'(t-1)+C=2e/×(/x-1)+C解法二[evxdx=[e/d(/x)?=2[/xevxd/x=2] VxdeVx =2/xevx-2[evxd/x=2/xeVx-2eVx+C=2e/x(/x-1)+C.eloloox目录上页下页返回结束

解法一 于是 解法二 例例1100求 e dx x  . 令xt2 , 则dx2tdt. e dx x  te dt e t C e x C t t x         2 2 ( 1) 2 ( 1) . e dx e d x xe d x x x x     ( )  2 2 xde xe e d x x x x    2  2 2 xe e C e x C x x x  2 2   2 ( 1) . e dx x  te dt e t C e x C t t x         e dx 2 2 ( 1) 2 ( 1) . x  te dt e t C e x C t t x         e dx 2 2 ( 1) 2 ( 1) . x  te dt e t C e x C t t x        2 2 ( 1) 2 ( 1) . e dx e d x xe d x x x x     ( )  2 2 e dx e d x xe d x x x x     ( )  2 2 xde xe e d x x x x    2  2 2 xe e C e x C x x x  2 2   2 ( 1) .              分部积分过程：uv dx udv uv vdu uv u vdx . 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法

分部积分法二、积分方法比较·第一换积分元法与分部积分法的比较第一步都是凑微分令(x)=u[ f[p(x)]p'(x)dx= [ f[p(x)]dp(x)f(u)du=...[u(x)v(x)dx=[ u(x)dv(x)=u(x)v(x)-[ v(x)du(x)=...注:在前者中(x)是以(x)为中间变量的复合函数，故用换元积分法在后者中u(x)不是以v(x)为中间变量的复合函数，故用分部积分法0lldl0lx上页下页返回目录结束

在后者中u(x)不是以v(x)为中间变量 的复合函数, 故用分部积分法. 在前者中f[(x)]是以(x)为中间变量 的复合函数, 故用换元积分法. 第一步都是凑微分 •第一换积分元法与分部积分法的比较 ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( )         f u du x u f x x dx f x d x      令 , ( ) ( )  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     u x v x dx u x dv x u x v x v x du x . ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( )         f u du x u f x x dx f x d x      令 , ( ) ( )  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     u x v x dx u x dv x u x v x v x du x . 注： 二、积分方法比较 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法