1）定理条件条件不全具备，结论不一定成立说明：0≤x<1f(x) =x=1f(x)=xxe[-1,1]f(x)= x,xe[0,1]2）定理条件只是充分的f(x)=x,xe[-1,2HIGH EDUCATION PRESS
说明: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 定理条件只是充分的
01罗尔定理OOAO人邮教育验证罗尔定理对于函数f(x)=x2-2x-3在区间例[-1,3]上的正确性解f(x)= x2 -2x-3 =(x-3)(x+1), f'(x) =2(x-1),在[-1, 3] 上连续,三个条件均满足在(-1,3)内可导且 f(-1)= f(3)= 0取= =1, 1ε(-1,3)结论成立f()=0
12 例 1 解 01 罗尔定理 12 验证罗尔定理对于函数 2 f (x) x 2x 3在区间 1, 3上的正确性. (x 3)(x 1), 2 f (x) x 2x 3 在[1, 3]上连续, 在(1, 3)内可导, 且 f (1) f (3) 0, 三个条件均满足 f (x) 2(x 1)， 取 1, 1(1,3), f () 0 结论成立
01罗尔定理COOR人邮教育例设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)不求导数证明7方程f(x)=0有三个实根，0解显见f(x)有四个零点：x=1,2,3,4,即f(1)= f(2)= f(3)= f(4)=0考察区间[1,2],[2,3],[3,4],f(x)在这三个区间上显然满足罗尔定理的三个条件，于是得f（x）=0在三个区间内各至少有一个实根，所以方程f（x）=0至少有三个实根：另一方面，f(x)=0是一个三次多项式，在实数范围内至多有三个实根：综上可知，f（x）=0有且仅有三个实根
13 设 f (x) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)，不求导数证明 方程 f (x) 0 有三个实根． 显见 f (x)有四个零点：x 1,2,3,4, 即 f (1) f (2) f (3) f (4) 0． 考察区间[1,2],[2,3],[3,4]，f (x)在这三个区间上显然满足 罗尔定理的三个条件 ，于是得 f (x) 0在三个区间内各 至少有一个实根，所以方程f (x) 0至少有三个实根； 另一方面 ，f (x) 0是一个三次多项式，在实数范围内至 多有三个实根．综上可知，f (x) 0有且仅有三个实根． 例 2 解 01 罗尔定理 13
01罗尔定理OOOOR人邮教育3证明：方程x5-5x+3=0有且仅有一个小于1的例正实根1) 存在性 o解设f(x)=x5-5x+3，则f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=3，f(I)=-1.由零点定理知，存在xE(0,1)，使f(x)=0，即为方程的小于1的正实根
解 5 证明：方程 x 5x 3 0 有且仅有一个小于1 的 正实根. 5 设f (x) x 5x 3, 则 f (x)在区间[0,1]上连续， 且 f (0) 3，f (1) 1.由零点定理知， 0 存在 x (0,1) ，使 0 f (x ) 0， 0 即 x 为方程的小于1的正实根. 01 罗尔定理 14 例 3 1) 存在性