而△Sk △O 71+Ex(x,y)+Ey(x, y)dxd y k +Ex(Sk,nk)+Ey(sk,nk)(Aok)xy f(x V,2)dS m∑/(5k,mk,2(5km) k=1 +2x2(k,m7k)+=y2(k,7)(Aak) m∑/(5k,1k(5k,1k (光滑) +Ex(5k, nk)+zv(sk, nk)(ok) x,1)4-2 D f(x,y,z(x,D))v1+Ex(x,y)+y(x,y)dxdy 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
z x y z x y x y k x y x y 1 ( , ) ( , ) d d ( ) 2 2 + + x k k y k k k xy 1 z ( , ) z ( , )( ) 2 2 = + + x k k y k k k xy 1 z ( , ) z ( , )( ) 2 2 + + x k k y k k k xy 1 z ( , ) z ( , )( ) 2 2 + + f x y z x y z x y x y x y Dx y ( , , ) 1 ( , ) ( , )d d 2 2 = + + ( , , ( , )) k k k k f z ( , , ( , )) k k k k f z f (x, y,z)dS 而 (光滑) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明: 1)如果曲面方程为 x=x(y,2)(y,2)∈Dz 或y=y(x,=),(x,)∈Dx2 可有类似的公式 2)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS 的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的 二重积分.(见本节后面的例4,例5) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
说明: Dyz x = x( y,z), ( y,z) Dxz 或 y = y(x,z), (x,z) 可有类似的公式. 1) 如果曲面方程为 2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的 二重积分. (见本节后面的例4, 例5) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1计算曲面积分dS,其中∑是球面x2+y2+=2 a2被平面z=h(0<h<a)截出的顶部 解:∑ C (x,y)∈D y D x2+y2≤a2-h h xy 1+z2+ D y a --y X ds = a dxd -h2 rdr a de D 0 0 a2+h2 =2 a n(a 2 aln 0 h HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
Dxy 例1. 计算曲面积分 其中是球面 被平面 截出的顶部. 解: 2 2 2 2 Dxy : x + y a − h 2 2 1 x y + z + z z d S = 2 0 a d 0 ln( ) 2 1 2 2 2 2 2 a h a a r + − − = − − = Dx y a x y a x y 2 2 2 d d − − 2 2 0 2 2 a h d a r r r o x z y h a 机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考: 若∑是球面x2+y2+z2=a2被平行平面z=±h截 出的上下两部分,则 ds (0 h ds 4 aln -) h h HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
思考: 若 是球面 被平行平面 z =±h 截 出的上下两部分, ( ) d = z S ( ) d = z S 0 h 4 ln a a 则 h − h o x z y 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例计算∫: xyzds,其中Σ是由平面x+y+=1与 坐标面所围成的四面体的表面 解:设∑1,2,>3,4分别表示∑在平面 x=0,y=0,z=0,x+y+z=1上的部分,则 质式(110ys xyz s ∑4:=1-x-y(xy)∈D:0≤y≤1-x l0≤x≤1 35dy-x-yy=3120 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 计算 其中 是由平面 坐标面所围成的四面体的表面. o z y x 1 1 1 解: 设 上的部分, 则 1 2 3 4 , , , = 4 xyz d S : 1 , 4 z = − x − y − 0 1 0 1 ( , ) : x y x x y Dxy − − − x y x y y 1 0 (1 ) d 120 3 = 与 = 1 0 3 x dx + + + 1 2 3 4 xyz dS 原式 = 分别表示 在平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束