第6页第四童解析函数的级数表示把上面的式子代入（*）f()S(z-zo)"ds7n+12元E- zon=010k.Zf()-Zds(z一7.0.(5 -z0)+12元n=0887Z=(z-zo)c,(z -zo)"n!n=0n=0级数(1)的收敛范围是以z.为中心，r为半径的圆域-zo<r,圆k的半径r可以任意增大,只要圆k及其内部包含在D内即可,故 f(z)在解析点z.处的Taylor级数的收敛半径至少等于从.到D的边界上各点的最短距离结回束
结 束 返回 第四章解析函数的级数表示 第6页 6 D k 0 z z 把上面的式子代入(*), 1 0 0 0 1 ( ) ( ) [ ( ) ] 2 ( ) n n k n f f z z z d i z + = = − − 0 1 0 0 1 ( ) ( ) 2 ( ) n n k n f z z d i z + = = − − ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ! n n n f z z z n = = − 0 0 ( )n n n c z z = = − 0 0 0 0 (1) , , , ( ) . z r z r k r k D f z z Taylor z D − 级数 的收敛范围是以 为中心， 为半径的圆域 圆 的半径 可以任意增大 只要圆 及其内 部包含在 内即可 故 在解析点 处的 级数的 收敛半径至少等于从 到 的边界上各点的最短距离
第7页第四童解析函数的级数表示泰勒系数f(z)在z,的泰勒展式↑f(z)在z.的泰勒展开00Zf(z)=c,(z-zo)"n=0f(z)在z的幂级数展式f(z)在z.展成泰勒级数泰勒级数8(0)特别的当z=0时，级数n称为麦克劳林级数n!n=0结回束
结 束 返回 第四章解析函数的级数表示 第7页 7 0 0 ( ) ( )n n n f z c z z = = − 0 f z z ( )在 的泰勒展式 0 f z z ( )在 的泰勒展开 0 f z z ( )在 的幂级数展式 0 f z z ( )在 展成泰勒级数 泰勒级数 泰勒系数 ( ) 0 0 (0) 0 n n n f z z n = 特别的当 = 时，级数 称为麦克劳林级数. ！
第8页第四章解析函数的级数表示注(1)若f(z)有奇点，那么f(z)在解析点z的Taylor展开式的收敛半径R等于点z到f(z)的最近的一个奇点α之间的距离，即R=z-αl注(2）f(z)在z,的Taylor展开式是唯一的事实上，设f(s)用另外的方法展开为幂级数：f(z)=a +a(z- zo)+a,(z- zo)2 +...+a,(z-zo)" +..则f(z)=αo，再由幂级数的逐项性质得,f'(z) =a, +2a,(z- zo)+...+ na,(z - zo)"- + ...= '(zo)= al依此类推得，a，=(zo),n =0,1,2,...n!由此可见，解析函数展开成幂级数就是它的Taylor级数，因而是唯一的结运回H束
结 束 返回 第四章解析函数的级数表示 第8页 0 1 1 1 2 0 0 f '(z) a 2a (z z ) na (z z ) f '(z ) a n = + − + + n − + = − f (z) = a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 ) 2 ++ an (z − z0 ) n + 事实上，设f (z)用另外的方法展开为幂级数: 则 f (z0 ) = a0 ，再由幂级数的逐项求导性质得， ( ), 0,1,2, ! 1 , 0 ( ) = f z n = n a n 依此类推得， n ( ) . 注(2) f z 在z0 的Taylor展开式是唯一的 由此可见，解析函数展开成幂级数就是它的Taylor 级数，因而是唯一的. 注(1) 若f (z)有奇点，那么f (z)在解析点 的Taylor展开式的收敛半径R等于点 到f (z)的最近的 一个奇点 之间的距离，即 0 z 0 z 0 R z = − | |