习题二 1.设μ是环R上的有限可加测度,即是R上的非负值集函数满足()=0 和有限可加性.证明若满足次可数可加性,则是分上的测度 2.设A是X的一个非空真子集试在a一代数={,X,A,A}上定义一个不 恒为零的有限测度 3.设X是一不可数集.令 丌={A:A或A是至多可数集 则是一个σ-代数(见第一章习题第21题).在犴定义集函数μ如下:若A是至多可数 集,则令H(A)=0.若A是至多可数集,则令山(A)=1.证明4是分上的测度 4.在B(R)上定义集函数如下:p(A)等于A中的有理数的个数(若A有无穷 多个有理数,则令(4)=+0)证明是(R,(R)上的σ一有限测度 5.设{n}是a-代数上的一列测度并且{n}是单调增加的,即 n(A)≤pn+1(A),A∈.令 (A)=1imPn(A),A∈ 证明p是上的测度 6.设(X,,)为测度空间.证明 (1)对任意A,B∈,成立 (A∪B)+山(A∩B)=(A)+p(B) (2).若山(X)<+∞,则对任意A,B,C∈丌,成立 (A∪B∪C)=(A)+p(B)+(C) (A∩B)-p(A∩C) H(B∩C)+(A∩B∩C) 7.设H是-代数上的测度,A,B∈犴并且测度有限.证明 (4)-(B)≤H(AAB) 8.设(X,,)为测度空间,{An}是一列可测集.证明 (1) u(lim An)slim u(An) (2)若∪A<+∞,则(imA)2imp(A) (3)若∑(A1)<+∞,则(imA)=0 9.设'是X上的外测度,A∈X,4'(A)=0.证明对任意BcX,有 (B∪A)=4'(B-A)='(B)
69 习 题 二 1. 设 µ 是环R 上的有限可加测度, 即 µ 是R 上的非负值集函数满足 µ(∅) = 0 和有限可加性. 证明若 µ 满足次可数可加性, 则 µ 是F 上的测度. 2. 设 A 是 X 的一个非空真子集. 试在σ − 代数F { , , , } c = ∅ X A A 上定义一个不 恒为零的有限测度. 3. 设 X 是一不可数集. 令 F = {A : A 或 c A 是至多可数集} 则F 是一个σ -代数(见第一章习题第 21 题). 在F 定义集函数 µ 如下: 若 A 是至多可数 集, 则令 µ(A) = 0. 若 c A 是至多可数集, 则令 µ(A) = 1. 证明 µ 是F 上的测度. 4. 在 ( ) 1 B R 上定义集函数 µ 如下: µ(A) 等于 A 中的有理数的个数(若 A 有无穷 多个有理数, 则令 µ(A) = +∞ ). 证明 µ 是( , ( )) 1 1 R B R 上的σ − 有限测度. 5. 设{ } µ n 是σ -代数F 上的一列测度并且{ } µ n 是单调增加的, 即 µ n (A) ≤ µ n+1 (A), A∈ F . 令 = ∈ →∞ A n A A n µ( ) lim µ ( ), F . 证明 µ 是F 上的测度. 6. 设(X , F ,µ) 为测度空间. 证明: (1).对任意 A, , B ∈ F 成立 µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B) = µ(A) + µ(B). (2).若 µ(X ) < +∞, 则对任意 A, , B,C ∈ F 成立 ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B C A B C A B A C A B C A B C − ∩ + ∩ ∩ − ∩ − ∩ ∪ ∪ = + + µ µ µ µ µ µ µ µ 7. 设 µ 是σ -代数F 上的测度, A, B ∈ F 并且测度有限. 证明 µ(A) − µ(B) ≤ µ(A∆B). 8. 设(X , F ,µ) 为测度空间, { } An 是一列可测集. 证明: (1). (lim ) lim ( ). n n n n µ A µ A →∞ →∞ ≤ (2).若 , 1 < +∞ ∞ = U n µ An 则 (lim ) lim ( ). n n n n µ A µ A →∞ →∞ ≥ (3).若 ( ) , 1 ∑ < +∞ ∞ n= µ An 则 (lim ) = 0. →∞ n n µ A 9. 设 ∗ µ 是 X 上的外测度, A ⊂ X , ( ) = 0. ∗ µ A 证明对任意 B ⊂ X , 有 (B A) (B A) (B). ∗ ∗ ∗ µ ∪ = µ − = µ
10.设是X上的外测度,AcX.证明A是可测集当且仅当对任意E>0 存在一个可测集EcA使得'(A-E)<E 11.设是X上的一个环,并且全空间X可以表为中一列互不相交的集的 并,μ是上的σ有限测度.证明 (1)存在R中一列互不相交的{En},使得X=UEn并且(En)<+,n≥1 (2).在”上是G有限的 12.设C是X上的一个x类,并且全空间X可以表为C中一列互不相交的集 的并,山1和2是(C)上的两个有限测度.证明若在C上1=H2,则在(C)上 1=2 提示:令界={A:A∈(C),H1(A)=H2(A)}利用推论1312 13.设(X)=1,{An}是X中的一列可测集,(A)=1,n21则(∩4)=1 14.设(X)=1,A1…,A是X中可测集∑(4)>n-1.则(∩4)>0 15.设C是Rn中有界的左开右闭方体的全体所成的集类.证明C是一个半环 提示:对R”的维数n用数学归纳法并且利用等式 AxB-C×D=[(A-C)×Bu[A∩C)×(B-D 16.设Ⅰ={a1,b]x…x[an2bn]是R”中的一个闭方体则对任意E>0,存在左开 右闭闭方体l1和I2,使得1cIc12,并且 川-团|<6,|2-1<E 17.设AcR".证明A是L可测集当且仅当对任意E>0,存在开集G1和G2,使 得G1A,G2A,并且m(G1∩G2)<E 18.设A是直线上的可数集.用L测度的定义直接证明m(A)=0. 19.在[0,1定义f(0)=0,f(x)=xsin(当x>0) m({x∈[0,1]:f(x)≥0}) 20.证明R的任意子集A作为R2的子集是L可测的并且m(A)=0 21.在区间[0,1中作出一个闭集F,使得F不包含任何有理数 并且mF>0 22.在直线上作一个无界的开集G使得m(G)=1 23.设E是[0,1中的有理数的全体.{1;…k}是k个开区间使 得Ec∪1证明∑≥1
70 10. 设 ∗ µ 是 X 上的外测度, A ⊂ X. 证明 A 是 ∗ µ -可测集当且仅当对任意ε > 0, 存在一个 ∗ µ -可测集 E ⊂ A 使得 µ ( − ) < ε. ∗ A E 11. 设R 是 X 上的一个环, 并且全空间 X 可以表为R 中一列互不相交的集的 并, µ 是R 上的σ 有限测度. 证明: (1).存在R 中一列互不相交的{ }, En 使得 U ∞ = = n 1 X En 并且 (E ) < +∞, n ≥ 1. µ n (2). ∗ µ 在 ∗ R 上是σ 有限的. 12. 设C 是 X 上的一个π 类, 并且全空间 X 可以表为C 中一列互不相交的集 的并, µ1和 µ 2 是σ (C ) 上的两个有限测度. 证明若在C 上 , µ1 = µ 2 则在σ (C ) 上 . µ1 = µ 2 提示: 令F ={ : ( ), ( ) ( )}. A A∈σ C µ1 A = µ 2 A 利用推论 1.3.12. 13. 设 µ(X ) = 1, { } An 是 X 中的一列可测集, (A ) = 1, n ≥ 1. µ n 则 ( ) 1. 1 = ∞ = I n µ An 14. 设 µ(X ) = 1, A An , , 1 L 是 X 中可测集, ∑= > − n i i A n 1 µ( ) 1. 则 ( ) 0. 1 > = I n i µ Ai 15. 设C 是 n R 中有界的左开右闭方体的全体所成的集类. 证明C 是一个半环. 提示: 对 n R 的维数 n 用数学归纳法. 并且利用等式 A× B − C × D = [(A − C)× B]∪[(A ∩ C)× (B − D)]. 16. 设 [ , ] [ , ] 1 1 n n I = a b ×L× a b 是 n R 中的一个闭方体. 则对任意ε > 0, 存在左开 右闭闭方体 1 I 和 2 I , 使得 , 1 2 I ⊂ I ⊂ I 并且 , . 1 2 I − I < ε I − I < ε 17. 设 A ⊂ . n R 证明 A 是 L 可测集当且仅当对任意ε > 0, 存在开集G1 和 , G2 使 得 , G1 ⊃ A , 2 c G ⊃ A 并且 ( ) . 1 2 m G ∩ G < ε 18. 设 A 是直线上的可数集. 用 L 测度的定义直接证明m(A) = 0. 19. 在 [0, 1] 定 义 f (0) = 0, x f x x 1 ( ) = sin ( 当 x > 0). 计 算 m({x ∈[0, 1]: f (x) ≥ 0}). 20. 证明 1 R 的任意子集 A 作为 2 R 的子集是 L 可测的并且 m(A) = 0. 21. 在区间 [0,1] 中作出一个闭集 F , 使 得 F 不包含任何有理数 , 并且 mF > 0. 22. 在直线上作一个无界的开集G 使得 m(G) = 1. 23. 设 E 是 [0,1] 中的有理数的全体 . { , , } 1 k I L I 是 k 个开区间使 得 . 1 U k i i E I = ⊂ 证明 1. 1 ∑ ≥ = k i i I
24.设A是[0,1]中的 Lebesgue可测集,mA>0.证明对任意 0<a<m(A),存在 Lebesgue可测集EcA,使得mE=a 提示:先证明函数 m([0,x]⌒A)是[0,1]上的连续函数 25.证明§23推论7的结论 26.证明R"上的 Lebesgue测度是平移不变的,即对任意 Lebesgue可测集A和 ∈R”,成立 m(xo A)=m(a) 其中x+A={x0+x:x∈A} 27.设A是R中的L可测集,a∈R1.证明aA是L可测的并且 m(aA)=am(A) 其中aA={ax:x∈A} 28.设{n}是有理数的全体令 G=U 证明对任意闭集FcR有m(GAF)>0 29.设AcR,m(A)>0.证明存在x,y∈A,使得x-y不是有理数 30.设AcR",m(A)>0.证明存在x∈A,使得对任意r>0, m(A⌒U(x,r))>0 提示:先对A是有界闭集的情形证明,再利用§23推论7 31.设Ac[-1,1,m(A>1.证明存在A的可测子集E,使得E关于原点对称并 且m(E)>0.提示:考虑A∩(-A) 32.设0<c<1.在[O,中作出一个无内点的闭集F,使得m(F)=c 提示:仿照 Cantor集的构造方法 33设E是R中的L可测集,a∈R,δ>0.当x∈(-6,6)时,a+x和a-x 之中必有一点属于E,证明m(E)≥δ 提示:注意(-6,6)c(E-a)∪(a-E) 34.计算E的L测度,这里 E={x∈[o]:x的十进制小数中不出现7} 35.设F(x)是一单调增加的右连续函数,p是由F(x)导出的L-S测度.证明 (1)u(a})=F(a)-F(a-0) (2)HF(a,b)=F(b-0)-F(a) (3)4F(a+∞))=F(+∞)-F(a) 其中F(+∞)=limF(x) 注.由(1)知道,p({a})=0当且仅当F(x)在a连续
71 24. 设 A 是 [0,1] 中 的 Lebesgue 可测集 , mA > 0. 证明对任意 0 < a < m(A), 存在 Lebesgue 可测集 E ⊂ A, 使得 mE = a. 提示: 先证明函数 f (x) = m([0, x]∩ A) 是[0, 1]上的连续函数. 25. 证明 2.3 推论.7 的结论. 26. 证明 n R 上的 Lebesgue 测度是平移不变的, 即对任意 Lebesgue 可测集 A 和 x0 ∈ , n R 成立 ( ) ( ), m x0 + A = m A 其中 { : }. x0 + A = x0 + x x ∈ A 27. 设 A 是 n R 中的 L 可测集, a ∈ . 1 R 证明 aA 是 L 可测的并且 m(aA) = a m(A). 其中 aA = {ax : x ∈ A}. 28. 设{ }nr 是有理数的全体. 令 ). 1 , 1 ( 1 U 2 2 ∞ = = − + n n n n r n G r 证明对任意闭集 F ⊂ 1 R 有 m(G∆F) > 0. 29. 设 A ⊂ , 1 R m(A) > 0. 证明存在 x, y ∈ A, 使得 x − y 不是有理数. 30. 设 A ⊂ , n R m(A) > 0. 证明存在 x ∈ A, 使得对任意 r > 0, m(A ∩U(x,r)) > 0. 提示: 先对 A 是有界闭集的情形证明, 再利用 2.3 推论.7. 31. 设 A ⊂ [−1,1], m(A) > 1. 证明存在 A 的可测子集 E , 使得 E 关于原点对称并 且 m(E) > 0. 提示: 考虑 A ∩ (−A). 32. 设 0 < c < 1. 在 [0,1] 中作出一个无内点的闭集 F, 使 得 m(F) = c. 提示: 仿照 Cantor 集的构造方法. 33. 设 E 是 1 R 中的 L 可测集, a ∈ , 1 R δ > 0. 当 x ∈ (−δ ,δ ) 时, a + x 和 a − x 之中必有一点属于 E, 证明m(E) ≥ δ . 提示: 注意(−δ ,δ ) ⊂ (E − a) ∪ (a − E). 34. 计算 E 的 L 测度, 这里 E = {x ∈[0,1]: x 的十进制小数中不出现 7}. 35. 设 F(x)是一单调增加的右连续函数, µ F 是由 F(x)导出的 L-S 测度. 证明 (3) (( , )) ( ) ( ). (2) (( , )) ( 0) ( ). (1) ({ }) ( ) ( 0). a F F a a b F b F a a F a F a F F F +∞ = +∞ − = − − = − − µ µ µ 其中 F( ) lim F(x). x→∞ +∞ = 注. 由(1)知道, ({a}) = 0 µ F 当且仅当 F(x)在 a 连续
36.设a∈R,F(x)=l+(x)证明=(R),并且若a∈A,则 (A)=1,若agA,则山(A)=0 37.设是f(R)上的一有限测度令 F(x)=1(-∞,x]),x∈R 证明F是单调增加的右连续的,并求limF(x)和limF(x)
72 36. 设 , 1 a∈ R ( ) ( ). [ , ) F x I x = a +∞ 证明 ( ), 1 R = P R ∗ 并且若a ∈ A, 则 (A) = 1, µ F 若 a ∉ A, 则 (A) = 0. µ F 37. 设 µ 是 ( ) 1 B R 上的一有限测度. 令 ( ) (( , ]), . 1 F x = µ −∞ x x ∈ R 证明 F 是单调增加的右连续的, 并求 lim F(x). x→−∞ 和 lim F(x). x→+∞