§23R"上的 Lebesgue测度 教学目的本节利用§22中一般测度的构造方法,构造一个重要的测度, 即欧氏空间R上的 Lebesgue测度. Lebesgue测度的建立,为定义 Lebesgue积 分打下基础 本节要点利用§22一般测度的构造方法,可以较快的构造出 Lebesgue测 Lebesgue测度不仅具有抽象测度具有的基本性质,而且还具有一些特有的 性质,如利用开集或闭集的逼近性质等 Lebesgue可测集包含了常见的一些集 但仍存在不可测集. Lebesgue-Stieljes测度是 Lebesgue度的推广,应利用较多 的例题,习题和几何直观使学生逐步加深对 Lebesgue测度理论的理解 在§2.1和§22中讨论了一般测度的性质和构造方法.本节将讨论一个十分重要的情 形,就是n维欧式空间R”上的 Lebesgue测度和 Lebesgue-Stieltjes测度,我们将重点讨论 Lebesgue测度,然后介绍直线上的 Lebesgue-Stieltjes测度 方体的体积我们将要定义的 Lebesgue测度是熟知的长度,面积和体积概念的推广,因 此我们先对R”上的方体的体积作一些规定.设Ⅰ是直线上的一个有界区间(I可以是开 的,闭的或半开半闭的)用表示区间的长度,即的右端点与左端点之差若是无 界区间,则规定1=+0.又规定空集也是区间并且=0.设1…是直线上的n个 区间称R的子集=1x…×Ln为R”中的一个方体在直线R和平面R2中,方体分 别就是区间和矩形.若l1…,n都是开区间,则称/为R中的开方体类似可定义R”中 的闭方体和半开半闭方体设/=1x…×n为R”中的一个方体,称1=1…1n为 的体积 环上的测度设C是R"中有界的左开右闭方体的全体所成的集类.不难证明C 是一个半环(在R的情形是显然的一般情形可以对R”的维数n用数学归纳法证明之 具体过程留作习题)对每个Ⅰ∈C,令 则显然集函数m在C上是有限可加的并且m(⑦)=0.又设界是由C生成的环,即 R={4=∪1:其中12…属于C并且互不相交,k21 (见§13定理4)对每个A∈R,若A的一个分解式为A=Ul,则令
59 2.3 n R 上的 Lebesgue 测度 教学目的 本节利用 2.2 中一般测度的构造方法, 构造一个重要的测度, 即欧氏空间 n R 上的 Lebesgue 测度. Lebesgue 测度的建立, 为定义 Lebesgue 积 分打下基础. 本节要点 利用 2.2 一般测度的构造方法,可以较快的构造出 Lebesgue 测 度. Lebesgue 测度不仅具有抽象测度具有的基本性质, 而且还具有一些特有的 性质,如利用开集或闭集的逼近性质等. Lebesgue 可测集包含了常见的一些集, 但仍存在不可测集. Lebesgue-Stieljes 测度是 Lebesgue 度的推广. 应利用较多 的例题,习题和几何直观使学生逐步加深对 Lebesgue 测度理论的理解. 在 2.1 和 2.2 中讨论了一般测度的性质和构造方法. 本节将讨论一个十分重要的情 形, 就是 n 维欧式空间 n R 上的 Lebesgue 测度和 Lebesgue-Stieltjes 测度. 我们将重点讨论 Lebesgue 测度, 然后介绍直线上的 Lebesgue- Stieltjes 测度. 方体的体积 我们将要定义的 Lebesgue 测度是熟知的长度, 面积和体积概念的推广, 因 此我们先对 n R 上的方体的体积作一些规定. 设 I 是直线上的一个有界区间( I 可以是开 的, 闭的或半开半闭的). 用 I 表示区间 I 的长度, 即 I 的右端点与左端点之差. 若 I 是无 界区间, 则规定 I = +∞. 又规定空集也是区间并且 ∅ = 0. 设 n I , ,I 1 L 是直线上的 n 个 区间. 称 n R 的子集 n I = I ×L× I 1 为 n R 中的一个方体. 在直线 1 R 和平面 2 R 中, 方体分 别就是区间和矩形. 若 n I , ,I 1 L 都是开区间, 则称 I 为 n R 中的开方体. 类似可定义 n R 中 的闭方体和半开半闭方体. 设 n I = I ×L× I 1 为 n R 中的一个方体, 称 n I = I ⋅L⋅ I 1 为 I 的体积. 环R 上的测度 设C 是 n R 中有界的左开右闭方体的全体所成的集类. 不难证明C 是一个半环(在 1 R 的情形是显然的. 一般情形可以对 n R 的维数 n 用数学归纳法证明之. 具体过程留作习题). 对每个 I ∈C , 令 m(I) = I . 则显然集函数 m 在C 上是有限可加的并且 m(∅) = 0 . 又设R 是由C 生成的环, 即 { : , , , 1}. 1 1 = = ≥ = A I I I k k k i R U i 其中 L 属于C 并且互不相交 (见 1.3 定理 4).对每个 A∈ R , 若 A 的一个分解式为 , U 1 ∞ = = i i A I 则令
2 (A) 由§22引理7,m(A)的值不依赖于A的分解式的选取,因此m在咒上的值是确定的 引理1由(1)式定义的上的集函数m具有如下性质 (i)m是有限可加的 (i)m是单调的 (i)m是次有限可加的,即若A,…,A∈,则 m(∪4)s∑m(A) 证明设A1,…,A是R中的k个互不相交的集令A=∪巴A设A的一个分解 式为 i=1.…k 则A=UUl是A的一个分解式因此有 i=1J= ∑∑m(1)=∑m(4) 故(1)得证.利用m的有限可加性,类似于§2.1测度的单调性和次可数可加性的证明,可 以证明(i)和(i)成立 定理2由(1)式定义的集函数m是上的测度 证明由§22定理8,只需证明m在C上是可数可加的设{}是C中的一列互不 相交的集并且=U∈C由引理231,对任意k≥1成立 mtu,)=m(U/.)5mU 令k→,即得∑m(1)≤m(D) 下面证明反向不等式.任意给定一个E>0.容易知道,存在闭方体JcⅠ和开方体 J1l,(≥1)使得
60 ( ) ( ). 1 ∑= = k i i m A m I (1) 由 2.2 引理 7, m(A) 的值不依赖于 A 的分解式的选取, 因此 m 在R 上的值是确定的. 引理 1 由(1)式定义的R 上的集函数 m 具有如下性质: (i) m 是有限可加的. (ii) m 是单调的. (iii) m 是次有限可加的, 即若 A1 ,L, Ak ∈ R, 则 ( ) ( ). 1 1 ∑ = = ≤ k i i k i m UAi m A 证明 设 A Ak , , 1 L 是R 中的 k 个互不相交的集. 令 . U 1 k i A Ai = = 设 Ai 的一个分解 式为 , 1, , . 1 A I i k mi j i =U ij = L = 则 UU k i m j ij i A I = = 1 1 = 是 A 的一个分解式. 因此有 ( ) ( ) ( ). 1 1 1 ∑∑ ∑ = = = = = k i i k i m j m A m Iij m A i 故(i) 得证. 利用 m 的有限可加性, 类似于 2.1 测度的单调性和次可数可加性的证明, 可 以证明(ii) 和(iii) 成立. 定理 2 由(1)式定义的集函数m 是R 上的测度. 证明 由 2.2 定理 8, 只需证明 m 在C 上是可数可加的. 设{ }i I 是C 中的一列互不 相交的集并且 = ∈ ∞ = U i 1 i I I C .由引理 2.3.1, 对任意k ≥ 1成立 ( ) ( ) ( ). 1 1 m I m I m I k i i k i i = ≤ = = ∑ U 令 k → ∞, 即得 ( ) ( ). 1 m I m I i ∑ i ≤ ∞ = 下面证明反向不等式. 任意给定一个ε > 0. 容易知道, 存在闭方体 J ⊂ I 和开方体 J ⊃ I (i ≥ 1) i i 使得
m(D)-m()≤E,m(1)-m(1)≤,i≥1 (以一维情形为例,若I=(a,b],l,=(a1,b],则取J=[a+s,b],J=(a,b+) 于是 U1∈UJ 由有限覆盖定理,可以从开方体列中{l}选出有限个也覆盖J.不妨设这有限个方体为 J1…Jx.设J和J(1≤i≤k)分别是与J和J有相同端点的左开右闭方体(例如 若J={a+E,b],J1=(a1,b,+),则取J=(a+E,b],J=(a2,b+])由于 Jc∪J于是更加有Jc∪J.由引理1我们有 m(J)=m(/)≤mU)s∑m()=∑m) 因此由(2)得到 m()-E≤m(J)≤∑m()≤∑m(1)+E 由于E>0是任意的,由上式得到m(1)≤∑m(1)综合前面的不等式得到 m()=∑m(1) 这就证明了集函数m在C上是可数可加的.由§22定理8,集函数m是上的测■ Lebesgue可测集与 Lebesgue测度设m是由上的测度m导出的外测度,称之为 Lebesgue外测度.称m-可测集为 Lebesgue可测集,R"中的 Lebesgue可测集的全体 所成的集类记为(R").由§22定理4知道,M(R")是一个-代数,m是M(R") 上的测度,称之为 Lebesgue测度.今后 Lebesgue测度m简记为m.称测度空间 (R”,M(R"),m)为 Lebesgue测度空间.由§2.2定理10, Lebesgue测度空间 (Rn,M(R"),m)是完备的.又显然 Lebesgue测度空间是a-有限的.今后 Lebesgue可 测集和 Lebesgue测度可以分别简称为L可测集和L测度 上面我们定义了L可测集和L测度那么L可测集类究竟有多大?L测度是否就是我 们熟知的长度、面积和体积的推广?下面的两个定理回答了这个问题 定理3每个 Borel可测集都是 Lebesgue可测集,即(R")cM(R")
61 m(I) − m(J ) ≤ ε, , 1. 2 m(J ) − m(I ) ≤ i ≥ i i i ε (2) (以一维情形为例, 若 I = (a,b], ( , ], i i i I = a b 则取 J = [a + ε ,b], ) 2 ( , i i i i J a b ε = + ). 于是 . 1 1 U U ∞ = ∞ = ⊂ = ⊂ i i i i J I I J 由有限覆盖定理, 可以从开方体列中{ }i J 选出有限个也覆盖 J. 不妨设这有限个方体为 , , . 1 k J L J 设 J ′ 和 J (1 i k) i ′ ≤ ≤ 分别是与 J 和 i J ′ 有相同端点的左开右闭方体 (例如, 若 J = [a + ε ,b], ) 2 ( , i i i i J a b ε = + , 则 取 J ′ = (a + ε,b], ] 2 ( , i i i i J a b ε ′ = + ). 由 于 . 1 U k i i J J = ⊂ 于是更加有 . 1 U k i i J J = ′ ⊂ ′ 由引理 1 我们有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 1 1 1 ∑ ∑ = = = = ′ ≤ ′ ≤ ′ = k i i k i i k i i m J m J m UJ m J m J 因此由(2)得到 ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 1 − ε ≤ ≤ ∑ ≤ ∑ + ε ∞ = i= i k i i m I m J m J m I 由于ε > 0是任意的, 由上式得到 ( ) ( ). 1 ∑ ∞ = ≤ i i m I m I 综合前面的不等式得到 ( ) ( ). 1 ∑ ∞ = = i i m I m I 这就证明了集函数 m 在C 上是可数可加的. 由 2.2 定理 8, 集函数 m 是R 上的测. Lebesgue 可测集与 Lebesgue 测度 设 ∗ m 是由R 上的测度 m 导出的外测度, 称之为 Lebesgue 外测度. 称m∗ −可测集 为 Lebesgue 可测集, n R 中的 Lebesgue 可测集的全体 所成的集类记为 ( ). n M R 由 2.2 定理 4 知道, ( ) n M R 是一个σ -代数, ∗ m 是 ( ) n M R 上的测度, 称之为 Lebesgue 测度. 今后 Lebesgue 测度 ∗ m 简记为 m. 称测度空间 ( , ( ), m) n n R M R 为 Lebesgue 测度空间 . 由 2.2 定 理 10, Lebesgue 测度空间 ( , ( ), m) n n R M R 是完备的. 又显然 Lebesgue 测度空间是σ − 有限的. 今后 Lebesgue 可 测集和 Lebesgue 测度可以分别简称为 L 可测集和 L 测度. 上面我们定义了 L 可测集和 L 测度. 那么 L 可测集类究竟有多大? L 测度是否就是我 们熟知的长度 面积和体积的推广? 下面的两个定理回答了这个问题. 定理 3 每个 Borel 可测集都是 Lebesgue 可测集, 即 ( ) n B R ⊂ ( ) n M R
证明设是上面所定义的环.容易证明σ()=B(R").由§22定理5知道 a(R)cM(R").因此(R)cM(R"),即每个 Borel可测集都是 Lebesgue可测集 定理证毕 定理3表明 Lebesgue可测集类包含了足够多的集特别是一些常见的集都是L可测 集.尽管如此,R"中仍然存在子集不是L可测的.这样的集称为 Lebesgue不可测集.在 本节的最后我们将给出一个 Lebesgue不可测集的例子.在§31例6中我们将证明,在 R”中存在子集是 Lebesgue可测集但不是 Borel集,即3(R")严格包含(R”) 由定理3知道,R"中的有限集,可数集和各种方体都是L可测集.现在来计算它们 的L测度 定理4R”中有限集和可数集的 Lebesgue测度为零,方体的 Lebesgue测度等于该方 体的体积 证明首先注意到,若I是R"中的一个有界的左开右闭方体,则由L测度的定义有 n(1)=现在设是R中的任意一个有界方体容易知道对任意E>0,存在左开右 闭方体l1和l2,使得l1CIcI2并且 1-|<E,|l1|-|<E (参见本章习题第16题)由测度的单调性我们有 1-Es|1=m(1)sm(1)≤m(2)=|2|<+E 由E>0的任意性即得m(1)=4再考虑/是无界方体的情形设=1x…xn,其中 1,…,n是直线上的区间并且至少有一个是无界的.容易知道对每个i=1,…,n,在中 存在一列单调增加的有界闭区间{ks,使得UJk=l并且im=1令 J,k≥1 则{}是一列单调增加的有界闭方体使得/=UJ,并且 im4|= limJi…m=l…n= 由于J是有界方体,由上面已证的结果有m(Jk)={于是由测度的下连续性我们有 m(I)=lim m(k)=limp/[=7. 因此任何方体的L测度等于该方体的体积.由于单点集{a}可看成是方体,即 {a}=[a,a]×…×[a,a],因此 m({a})=[ad×…×adl=0
62 证明 设 R 是上面所定义的环. 容易证明 σ (R ) = ( ). n B R 由 2.2 定理.5 知道 σ (R ) ⊂ ( ) n M R . 因此 ( ) n B R ⊂ ( ) n M R , 即每个 Borel 可测集都是 Lebesgue 可测集. 定理证毕. 定理.3 表明 Lebesgue 可测集类包含了足够多的集. 特别是一些常见的集都是L 可测 集. 尽管如此, n R 中仍然存在子集不是 L 可测的. 这样的集称为 Lebesgue 不可测集. 在 本节的最后我们将给出一个 Lebesgue 不可测集的例子. 在 3.1 例 6 中我们将证明, 在 n R 中存在子集是 Lebesgue 可测集但不是 Borel 集, 即 ( ) n M R 严格包含 ( ) n B R . 由定理 3 知道, n R 中的有限集, 可数集和各种方体都是 L 可测集. 现在来计算它们 的 L 测度. 定理 4 n R 中有限集和可数集的 Lebesgue 测度为零, 方体的 Lebesgue 测度等于该方 体的体积. 证明 首先注意到, 若 I 是 n R 中的一个有界的左开右闭方体, 则由 L 测度的定义有 m(I) = I . 现在设 I 是 n R 中的任意一个有界方体. 容易知道对任意ε > 0, 存在左开右 闭方体 1 2 I 和I , 使得 , 1 2 I ⊂ I ⊂ I 并且 , . 1 2 I − I < ε I − I < ε (参见本章习题第 16 题)由测度的单调性我们有 ( ) ( ) ( ) . 1 1 2 2 I − ε ≤ I = m I ≤ m I ≤ m I = I < I + ε 由ε > 0的任意性即得 m(I) = I . 再考虑 I 是无界方体的情形. 设 , 1 n I = I ×L× I 其中 n I , ,I 1 L 是直线上的区间并且至少有一个是无界的. 容易知道对每个i = 1,L, n, 在 i I 中 存在一列单调增加的有界闭区间 , 1 { } i k k≥ J , 使得 i k i k J = I ∞ = U 1 , 并且 lim . i,k i k J = I →∞ 令 , k 1,k n,k J = J ×L× J k ≥ 1. 则{ }k J 是一列单调增加的有界闭方体使得 , 1 U ∞ = = k k I J 并且 lim lim . 1, , 1 J J J I I I k n k n k k k = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = →∞ →∞ L L 由于 k J 是有界方体, 由上面已证的结果有 ( ) . k k m J = J 于是由测度的下连续性我们有 m(I) lim m(J ) lim J I . k k k k = = = →∞ →∞ 因此任何方体的 L 测度等于该方体的体积. 由于单点集 {a} 可看成是方体, 即 {a} = [a,a]×L×[a, a], 因此 m({a}) = [a, a]×L×[a, a] = 0
再由测度的可数可加性即知有限集和可数集的L测度为零 由定理4知道, Lebesgue测度确实是区间的长度,矩形的面积和方体的体积概念的 推广,而且它能对R”中的更多的子集给予一种类似于体积的度量 例1由于直线上有理数集是可数集,由定理4知道,直线上有理数集的L测度等于 零又实数集R的一维L测度mR)=R|=+2但R作为R2的子集,其二维L测度 m(R)=m(R×{0})=R×{0)=+∞0=0 这里顺便指出证明区间[O1不是可数集的另一方法由定理4,可数集的L测度为零 但m([O,1])=1,因此[0,1不是可数集 例2设K是 Cantor集,在§14中构造 Cantor集时,从[O,]中去掉的那些开区间的 并记为G.我们已经知道这些区间长度之和为1,即m(G)=1.由于K=[0,1-G,因此 m(K)=m([0,1)-m(G)=1-1=0 我们知道K不是可数集(其基数为c),这个例子表明一个不可数集的L测度也可能为零 设A是R"的子集,是上面所定义的环则由L外测度的定义有 m(4)=mf1∑m(4){4}是中的集列并且Ac∪A (3) 下面给出 Lebesgue外测度的另一种表示方法 定理5设A是R”的子集.则 m(4)=inf∑4是一列有界开区间并且A 证明设A是R"的子集若m'(A)=+∞,则(4)显然成立.现在设m'(4)<+∞0 由(知道,对任意E>0,存在中的一列集{4}使得AcUA并且 ∑m(4)<m(4)+ 由于每个A都可以表为有限个左开右闭方体的并,故不妨设每个A都是左开右闭方体 容易知道对每个存在开方体L使得A=1并且A4<2由于AUL,利 用(5)得到 m(4)s∑m1)=∑H≤∑A4|+E≤m(4)+2 在上式里对A的所有有界开方体的覆盖取下确界得到
63 再由测度的可数可加性即知有限集和可数集的 L 测度为零. 由定理 4 知道, Lebesgue 测度确实是区间的长度, 矩形的面积和方体的体积概念的 推广, 而且它能对 n R 中的更多的子集给予一种类似于体积的度量. 例 1 由于直线上有理数集是可数集, 由定理 4 知道, 直线上有理数集的 L 测度等于 零. 又实数集 1 R 的一维 L 测度 ) . 1 1 m(R = R = +∞ 但 1 R 作为 2 R 的子集, 其二维 L 测度 ( ) ( {0}) {0} 0 0. 1 1 1 m R = m R × = R × = +∞ ⋅ = 这里顺便指出证明区间[0,1]不是可数集的另一方法. 由定理 4, 可数集的 L 测度为零. 但 m([0,1]) = 1, 因此[0,1]不是可数集. 例 2 设 K 是 Cantor 集. 在 1.4 中构造 Cantor 集时, 从[0,1]中去掉的那些开区间的 并记为G. 我们已经知道这些区间长度之和为 1, 即 m(G) = 1. 由于 K =[0,1] − G, 因此 m(K) = m([0,1]) − m(G) = 1−1 = 0. 我们知道 K 不是可数集(其基数为c ), 这个例子表明一个不可数集的 L 测度也可能为零. 设 A 是 n R 的子集, R 是上面所定义的环. 则由 L 外测度的定义有 = ∑ ⊂ ∞ = ∞ = ∗ 1 1 ( ) inf ( ) :{ } , i i m A m Ai Ai 是R 中的集列 并且A UAi . (3) 下面给出 Lebesgue 外测度的另一种表示方法. 定理 5 设 A 是 n R 的子集. 则 = ⊂ ∞ = ∞ = ∗ ∑ U 1 1 ( ) inf :{ } , i i i i i m A I I 是一列有界开区间 并且A I . (4) 证明 设 A 是 n R 的子集. 若 ( ) = +∞, ∗ m A 则(4)显然成立. 现在设 ( ) < +∞. ∗ m A 则 由(3)知道, 对任意ε > 0, 存在R 中的一列集{ } Ai 使得 U ∞ = ⊂ i 1 A Ai 并且 ( ) ( ) . 1 < + ε ∗ ∞ = ∑m A m A i i (5) 由于每个 Ai 都可以表为有限个左开右闭方体的并, 故不妨设每个 Ai 都是左开右闭方体. 容易知道对每个 i , 存在开方体 i I 使得 i i A ⊂ I 并且 . 2i i Ai I ε − < 由于 , 1 U ∞ = ⊂ i i A I 利 用(5)得到 ( ) ( ) ( ) 2 . 1 1 1 ≤ = ≤ + ε ≤ + ε ∗ ∞ = ∞ = ∞ = ∗ m A ∑m I ∑ I ∑ A m A i i i i i i 在上式里对 A 的所有有界开方体的覆盖取下确界得到