198 金融工程朋是一“求菜一示 案例11.1和11.2给出了伊藤引理的两个应用 【案例1.1】 同运用伊藤引理推导inS所遵循的随机过程 假设变量S服从 w ds=uSdt-taSdz 式中,和d都为常数,则InS所遵循怎样的随机过程? 由于和口是常数,S显然服从a(S,t)=S,b(S,t)=0S的伊藤过程,可以 运用伊藤引理推导lnS所遵循的随机过程 令G=lnS,则 s1 aG aG 代入式(11.7),就可得到G=1nS所遵循的随机过程为 dG- dIn S =(=x) dt tad (11.8) 如果假设S为股票价格,则dlnS是股票的连续复利收益率。公式(1.8)说 明了股果的连续复利率从期望值(地方差为口出的正分布 么【案例11.2】 运用伊藤引理推导期货价格F所遵循的随机过程 假设无收益标的资产价格S服从 ds=uSdt:+oSd 式中,和都为常数,则该标的资产的期货价格F遵循怎样的随机过程? 由于A和G是常数,S显然服从a(S,1)=pS,b(S,1)=S的伊藤过程,可以 运用伊藤引理推导F所遵循的随机过程 由于F=Se(°,则 3一e一0,一F 代入式(1.7),就可得到F所遵循的随机过程为 -de=Cu-rfditoFdz cas 这说明,期货价格的漂移率比股票小r,这是因为股票投资需要现金投入,所 以投资回报中包合时间报劇和风险报酬,面期货投资无须现金投入(除了少量保 证金忽略不计外),因此只有风险报酬
第十一章布莱克一舒尔斯-默顿期权定价模型 199 四、股票①价格的变化过程:几何布朗运动 前文中已经数次提及,股票价格的变化过程可以用形如式(11.1)的几何布朗运 动来描述 =udt+adz 式中,S表示股票价格,和a都为常数。两边同时乘以S可得 IS=uSdt taSdz 显然,这是一个漂移率为pS、方差率为2S2的伊藤过程 在本节的第一部分已经讨论了为何运用维纳过程来捕捉股票价格变化中随机因 素,那么人们为什么要采用几何布朗运动这一特定的伊藤过程来描述股票价格的随 机过程呢?其主要原因有两个,一是可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾 的问题,二是几何布朗运动意味着股票连续复利收益率服从正态分布,这与实际较为 吻合。 从案例11.1已知,如果股票价格服从几何布朗运动,则有 dG-dIn s=(u-2)dr+adz 从自然对数的定义域可知,S不能为负数。另外从公式(1.8)可以看出,股票价格的 对数服从普通布朗运动,因为它具有恒定的漂移率-和恒定的方差率d2。由前 文的分析可知,当一个变量服从普通布朗运动dx=adt+bdz时,其在任意时间长 度T-t内的变化值都服从均值为a(T-t)、方差为b2(T-t)的正态分布。也就 是说, In Sr-In S-o(a-2) (T-t),a√T (11.9) 式中,lnS为当前t时刻股票价格的自然对数,lnSr为未来T时刻股票价格的自然对 数,nSr-lnS为T-t期间股票价格对数的变化量。从式(11.9)可以得到以下两个 结论: (1)由于当前时刻的lnS实际上是已知的,式(11.9)可以写为 nSr~φlnS+ )(T-D),oVT. (11.10) 也就是说,股票价格服从几何布朗运动意味着未来T时刻股票价格的对数lnSr服 从正态分布,即未来T时刻的股票价格Sr服从对数正态分布。 根据对数正态分布的基本性质,从式(11.10)可以得到T时刻的股票价格Sr的 均值与方差分别为 这里的股票专指无收益股票,收益对股票价格随机过程和期权定价的影响将在下文专门讨论
200 金融工程 E(ST)=Se(T-n, var(ST)=SeA(T-DLe(T-o-11 (2)根据第一章中连续复利收益率的知识,nSr-nS实际上就是股票价格在 T-t期间的连续复利收益率,则T-t期间年化的连续复利收益率可以表示为 1Sx二ms,从式(1.9)可知随机变量服从正态分布 也就是说,股票价格服从几何布朗运动意味着股票连续复利收益率服从正态分布;同 时可以看到,几何布朗运动中的a是股票连续复利收益率的年化标准差,它也被称为 股票价格的波动率( volatility) 在这里需要特别强调的一点是:如果直接对式(11.1)进行离散化处理,可以得 到,在短时间△t后,股票价格的百分比收益率为 可见,在很短的时间内,也具有正态分布特征,其均值为p△,方差为d2△t 然而,如果取更长的时间,虽然在每个短的时间间隔△内股票价格百分比收益率s 都服从正态分布,但由于较长时间内的百分比毛收益率为每个瞬间百分比毛收益率 的乘积(例如,股票价格先增长15%,再下跌5%,则其总的百分比收益率应为(1+ 15%)×(1-5%)=1.0925%,即股票只上涨9.25%,而非10%),服从正态分布的 变量乘积并不服从正态分布,所以几何布朗运动只意味着短时间内的股票价格百分 比收益率服从正态分布,在长时期内其正态分布的性质就丧失了。但如果使用连续 复利收益率,则较长时间内的连续复利收益率为每个瞬间连续复利收益率之和(例 如,连续两个时间间隔的连续复利收益率分别为15%和5%,则其总的连续复利收益 率是10%),由于独立的正态分布变量之和仍为正态分布,因此总的连续复利收益率 仍服从正态分布。 从上面简单的例子还可看出,虽然△t时间内股票价格百分比收益率的漂移率为 ,但股票连续复利收益率的期望值仅为-5,股票价格的波动越大,两者的差距 也越大。这也说明,当假定股价服从公式(1.1)所示的几何布朗运动时,不能简单地 把常微分中dnS=dS/S直接代入公式(11.1)的左边得到 etdz 而应该运用伊藤引理来求。 ①本书网站上附有模拟股价变化路径的软件
第十一章布莱克-舒尔斯-默頓期权定价模型 201 总之,几何布朗运动意味着未来T时刻的股票价格Sr服从对数正态分布或股 票连续复利收益率服从正态分布,而金融中的大量经验事实证明这些假设基本符合 现实,加上其在数学和计量上相对易于处理,故此股票价格服从几何布朗运动,长期 以来一直是金融中的一个经典假设。义 最后,案例1.3将有助于读者进一步理解股票价格的几何布朗运动和对数正态 分布性质。 么【例1.3】 几何布朗运动下股票价格的概率分布 设A股票的当前价格为50元,预期收益率为每年18%,波动率为每年 20%,假设该股票价格遵循几何布朗运动且该股票在6个月内不付红利,请问该 股票6个月后的价格Sr的概率分布如何?A股票在6个月后股票价格的期望值 和标准差分别是多少? 由题意知:S=50,=0.18,0=0.2,T-=0,5(年) 由式(11.10)可知,6个月后Sr的概率分布为 0.04 lns~o50+(,18-121)×05,.2×√0.5 甲190901) 由于一个正态分布变量取值位于均值左右两个标准差范围内的概率为 95%,因此,置信度为95%时 3.71<lnSr<4.274 40.85<S<71.81 因此,6个月后A股票价格落在40.85元到71.81元之间的概率为95% E(S7)=50e18.5=54.71元 w(20(6 五、预期收益率μ与波动率σ 关于几何布朗运动中的两个参数与a,首先再次强调是在短时间内股票年 化比例收益率的期望值,而不是年化连续复利收益率的期望值,而是股票连续复利 收益率的年化标准差,它们的单位分别为年和√年。以下为了表述方便,将简称为 ①越来越多的实证研究表明,股票收益率的分布并不完全符合对数正态分布,而呈现尖峰尾的现象 随机过程可以刻画服从任何分布的股票价格的运动过程,公式(1.)中p和。是常数的假定,则这个 但这井不能作为反对股价运动服从伊藤过程的理由,因为只要去掉