例2 求f(x)=x3+3x2-24x-20的极值解 f(x) = 3x2 +6x- 24= 3(x+ 4)(x -2)令 f'(x)= 0,得驻点xi =-4, x, = 2.因为,f"(x)= 6x+6,故极大值f(-4)=60,f"(-4) = -18 <0,故极小值f(2)=-48.f"(2) = 18 > 0
例2 解 ( ) 3 24 20 . 求f x = x 3 + x 2 − x − 的极值 ( ) 3 6 24 2 f x = x + x − 令 f (x) = 0，得驻点 = 3(x + 4)( x − 2) f (x) = 6x + 6, f (−4) = −18 故极大值 f (−4)= 60, f (2) = 18 故极小值 f (2) = −48. 4, 2. x1 = − x2 = 因为, 0, 0
注f"(x)=0时,定理3(第二充分条件)不能应用.事实上,当f(x)=0,f"(x)=0时,f(x)在点x处可能有极大值,也可能有极小值也可能没有极值如, fi(x)= -x*, f2(x) = x*, fs(x)= x在x=0处分别属于上述三种情况仍用第一充分条件
注 ( ) 0 , f x0 = 时 仍用第一充分条件 定理3(第二充分条件)不能 应用. 事实上, ( ) 0, 当f x0 = ( ) 0 , f x0 = 时 f (x)在点x0处 可能有极大值,也可能有极小值, 也可能没有极值. 如, ( ) , 4 1 f x = −x ( ) , 4 f2 x = x 3 3 f (x) = x 在x = 0处 分别属于上述三种情况