山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 5.3 唯一性
5.3 唯一性
加求翟王大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 同一个线性替换可以经过不同的线性替换化为不同的标准形 。 非退化线性替换不改变二次型的秩 ·标准形的秩体现在什么地方呢？ 系数不为零的平方项的个数 主对角线上不为零的数的个数 >在复数域和实数域中，进一步研究唯一性的问题
• 同一个线性替换可以经过不同的线性替换化为不同的标准形 系数不为零的平方项的个数 ➢ 在复数域和实数域中，进一步研究唯一性的问题. • 非退化线性替换不改变二次型的秩 • 标准形的秩体现在什么地方呢？ 主对角线上不为零的数的个数
山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、复数域的情形 设f(x1,X2,.,xn)是一个复系数的二次型，秩为T, 经过一适当的非退化线性替换后化为标准形，设为 d1yf+d2y2+.+dry, d≠0，i=1,2,.,n 作一非退化线性替换
一、复数域的情形 设 𝑓 ( 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ) 是一个复系数的二次型，秩为𝑟， 经过一适当的非退化线性替换后化为标准形，设为 𝑑1𝑦1 2 + 𝑑2𝑦2 2 + ⋯ + 𝑑𝑟𝑦𝑟 2 , 𝑑𝑖 0, 𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑟 作一非退化线性替换
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 1 d1y+d2y2+.+dry y1= d 就变成 1 yr= r' z+z经+.+z. yr+1=Zr+1, 上式称为复二次型f（X1,x2,.,xn) 的规范形. yn=Zn
𝑦1 = 1 𝑑1 𝑧1 , ⋯ 𝑦𝑟 = 1 𝑑𝑟 𝑧𝑟 , 𝑦𝑟+1 = 𝑧𝑟+1 , ⋯ 𝑦𝑛 = 𝑧𝑛 𝑑1𝑦1 2 + 𝑑2𝑦2 2 + ⋯ + 𝑑𝑟𝑦𝑟 2 𝑧1 2 + 𝑧2 2 + ⋯ + 𝑧𝑟 2 . 就变成 上式称为复二次型 𝑓 ( 𝑥1 , 𝑥2 , . , 𝑥𝑛 ) 的规范形
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定理3 任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退 化线性替换可以变成规范形，且规范形是难一的
定理 3 任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退 化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的