山东理工大学理学院备课纸 年月日 第一章多项式 §1数域 一、 基本内容，我们前面已经讲过，大家复习 二、强调：线性方程组的基础解系，上学期期末考试总结 §2一元多项式 一、一元多项式 定义2设n是一非负整数，形式表达式 ax"+aax+do, (1) 其中a,a,an全属于数域P,称为系数在数域p中的一元多项式，或者简称为 数域P上的一元多项式. 在多项式(1)中，a,x称为i次项，a,称为i次项的系数.以后用fx,gx, 或∫，g,.等来表示多项式。 注意：这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式， 定义3如果在多项式fx)与g(x)中，除去系数为零的项外，同次项的系数 全相等，那么fx)与gx)就称为相等，记为fx)=g(x). 系数全为零的多项式称为零多项式，记为0. 在(1)中，如果an≠0，那么a,x称为多项式(1)的首项，a称为首项系 第1页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 第一章 多项式 §1 数域 一、 基本内容，我们前面已经讲过，大家复习 二、 强调：线性方程组的基础解系，上学期期末考试总结 §2 一元多项式 一、一元多项式 定义 2 设 n 是一非负整数，形式表达式 1 0 1 a x a 1 x a x a n n n n + + + + − − , (1) 其中 a a an , , , 0 1 全属于数域 P ，称为系数在数域 P 中的一元多项式，或者简称为 数域 P 上的一元多项式. 在多项式（1）中， i i a x 称为 i 次项， i a 称为 i 次项的系数.以后用 f (x), g(x), 或 f , g, 等来表示多项式. 注意：这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式. 定义 3 如果在多项式 f (x) 与 g(x) 中，除去系数为零的项外，同次项的系数 全相等，那么 f (x) 与 g(x) 就称为相等，记为 f (x) = g(x) . 系数全为零的多项式称为零多项式，记为 0. 在(1)中，如果 an 0 ，那么 n n a x 称为多项式（1）的首项， n a 称为首项系 第 1 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 数，n称为多项式(1)的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式。多项式 f)的次数记为ofx》或deg(x). 区分.零多项式与零次多项式 例1.当a,b,c取何值时，多项式f)=x-5与 gx)=a(x-2)2+b(x+1)+c(x2-x+2)相等 二、多项式的运算 设f(x)=anx"+an-x-+.+a,x+a,g(x)=bnx"+bnx-+.+bx+b。 是数域P上两个多项式，那么可以写成)-2，8)-=，y 1.加法 在表示多项式fx)与gx)的和时，如n之m,为了方便起见， 在g(x)中令bn=bn-=.=bn=0,那么fx)与g(x)的和为 f(x)+g(x)=(a+b)x"+(a+b)x++(a+b)x+(ao+bo) -2a,+6,)x 2.乘法 f(x)与g(x)的乘积为 f(x)g(x)=a,b.xm+(a b+a b)x"m++(abo+apb )x+apbo 其中s次项的系数是 a,bo+a+.+aba+dob.=Eaby 2而
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 数， n 称为多项式（1）的次数. 零多项式是唯一不定义次数的多项式. 多项式 f (x) 的次数记为 ( f (x)) 或 deg( ( )) f x . 区分. 零多项式与零次多项式 例 1. 当 abc , , 取何值时，多项式 f x x ( ) 5 = − 与 2 2 g x a x b x c x x ( ) ( 2) ( 1) ( 2) = − + + + − + 相等 二、多项式的运算 设 1 0 1 1 f (x) a x a x a x a n n n = n + + + + − − , 1 0 1 1 g(x) b x b x b x b m m m = m + + + + − − 是数域 P 上两个多项式，那么可以写成 = = n i i i f x a x 0 ( ) , = = m j j j g x b x 0 ( ) 1.加法 在表示多项式 f (x) 与 g(x) 的和时，如 n m ，为了方便起见， 在 g(x) 中令 bn = bn−1 == bm+1 = 0 ，那么 f (x) 与 g(x) 的和为 = − − − = + + = + + + + + + + + n i i i i n n n n n n a b x f x g x a b x a b x a b x a b 0 1 1 0 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2．乘法 f (x) 与 g(x) 的乘积为 1 0 0 1 0 0 1 1 1 f (x)g(x) a b x (a b a b )x (a b a b )x a b n m n m n m n m = n m + + + + + + + − − − + 其中 s 次项的系数是 + = + − + + − + = i j s asb0 as 1b1 a1bs 1 a0bs aibj 第 2 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 所以)g()可表成 fg)=Σ∑ab,x 例2f)=4r-5x2-6，gx)=7x+6x-4r2+10x+2,计算f)与g)的乘积 3.多项式次数的变化 对于多项式的加减法，不难看出 afx)+g(x)≤max(af(x,a(g(x)》 对于多项式的乘法，可以证明，若fx)≠0，g(x)≠0，则fx)g(x)≠0，并且 af(x)g(x))=a(f(x))+a(g(x)) 由以上证明看出，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积， 显然上面的结果都可以推广到多个多项式的情形 4.多项式的运算满足以下的一些规律： (1.)加法交换律：f)+g)=g)+f)· （(2.)加法结合律：()+gx+)=fx)+(g)+Mx》 (3).乘法交换律：·fxg)=gxf) (4).乘法结合律：(fx)gx)h(x)=f(xg(x)Mx》 (⑤).乘法对加法的分配律：fxg(x)+x》=f(x)g()+fxhx) (6).乘法消去律：若fx)g(x)=fx)hMx)且fx)≠0，则gx)=h(x) 显然，数域P上的两个多项式经过加、减、乘运算后，所得结果仍然是数 域P上的多项式 第3页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 所以 f (x) g(x) 可表成 s n m s i j s i j f (x)g(x) ( a b )x 0 + = + = = . 例 2 3 2 f x x x ( ) 4 5 6 = − − , 432 g x x x x x ( ) 7 6 4 10 2 = + − + + ,计算 f (x) 与 g(x) 的乘积 3．多项式次数的变化 对于多项式的加减法，不难看出 ( f (x) + g(x)) max( ( f (x)), (g(x))) . 对于多项式的乘法，可以证明，若 f (x) 0, g(x) 0 ，则 f (x)g(x) 0 ，并且 ( f (x)g(x)) = ( f (x)) + (g(x)) 由以上证明看出，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积. 显然上面的结果都可以推广到多个多项式的情形. 4．多项式的运算满足以下的一些规律： (1.) 加法交换律： f (x) + g(x) = g(x) + f (x) . (2.) 加法结合律： ( f (x) + g(x)) + h(x) = f (x) + (g(x) + h(x)) (3). 乘法交换律：. f (x)g(x) = g(x) f (x) (4). 乘法结合律： ( f (x)g(x))h(x) = f (x)(g(x)h(x)) (5). 乘法对加法的分配律： f (x)(g(x) + h(x)) = f (x)g(x) + f (x)h(x) (6). 乘法消去律：若 f (x)g(x) = f (x)h(x) 且 f (x) 0 ，则 g(x) = h(x) 显然，数域 P 上的两个多项式经过加、减、乘运算后，所得结果仍然是数 域 P 上的多项式. 第 3 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 5.定义4所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多 项式环，记为P[],P称为P[x的系数域 例3设fx,g(x)和Mx)是实数域上的多项式.证明：若fx),g(x)和x)满足 f产(x)=g2x)+xhx)(1), 那么f(x)=g(x)=h(x)=0 例4求一组满足(1)式的不全为零的复系数多项式fx,g(x)和(x) 第4页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 5. 定义 4 所有系数在数域 P 中的一元多项式的全体，称为数域 P 上的一元多 项式环，记为 P x[ ]，P 称为 P x[ ] 的系数域. 例 3 设 f (x), g(x) 和 h(x) 是实数域上的多项式．证明：若 f (x), g(x) 和 h(x) 满足 2 2 2 f x xg x xh x ( ) ( ) ( ) = + （1）， 那么 f (x) = g(x) = h(x) = 0. 例 4 求一组满足（1）式的不全为零的复系数多项式 f (x), g(x) 和 h(x). 第 4 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 §3整除的概念 在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算一除 法一并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关 系 一、带余除法 对于P[因中任意两个多项式f(x)与gx),其中g(x)≠0 定有P[)中的多项式q(x),r(x)存在，使 f(x)=q(x)g(x)+r(x) (1) 成立，其中rx》<g(x》或者x)=0,并且这样的q(x,r)是唯一决定的. 带余除法中所得的gx)通常称为g)除fx)的商，r()称为g)除)的余式。 证明：若fx)=0,令qx)=(x)=0即可， 若f0,令)=Lg)=m且f)=2ax,8=, 对fx)的次数n用第二归纳法证明， 若n<m,取q(x)=0,r(x)=fx)即可， 若n≥m,假设次数小于n时结论成立，下面证明次数为m时结论成立： 令x)=fx)-gxgx则（田<n, 由归纳假设，对多项式f(x,g(x),有x),r(x)eP[x, 使)=,xg(x)+r(x),其中rx)=0或者0r<g 第5页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 §3 整除的概念 在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算—除 法—并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关 系. 一、 带余除法 对于 P x[ ] 中任意两个多项式 f (x) 与 g(x) ，其中 g(x) 0 ， 一定有 P x[ ] 中的多项式 q x r x ( ) , ( ) 存在，使 f (x) = q(x)g(x) + r(x) (1) 成立，其中 (r(x)) (g(x)) 或者 r(x) = 0 ，并且这样的 q(x),r(x) 是唯一决定的. 带余除法中所得的 q(x) 通常称为 g(x) 除 f (x) 的商，r(x) 称为 g(x) 除 f (x) 的余式. 证明：若 f (x) = 0，令 q(x) = r(x) = 0 即可， 若 f (x) 0 ，令 0 0 ( ) , ( ) , ( ) , ( ) n m i j i j i j f x n g x m f x a x g x b x = = = = = = 且 ， 对 f (x) 的次数 n 用第二归纳法证明， 若 n m,取q(x) = 0,r(x) = f (x) 即可. 若 n m ，假设次数小于 n 时结论成立，下面证明次数为 n 时结论成立： 令 x g x f x n b a f x f x n m m n = − − ( ) ( ) ( ), ( ) 1 则 1 ， 由归纳假设，对多项式 ( ), ( ) 1 f x g x ，有 1 1 q x r x P x ( ), ( ) [ ], 使 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 f x = q x g x + r x ， 其中 1 1 r x r x g x ( ) 0 ( ) ( ), = 或者 第 5 页