山东理工大学理学院备课纸 年月日 第六章线性空间 §1集合·映射 一、集合 1集合的定义：所谓集合就是指作为整体看的一堆东西. 2元素：组成集合的东西称为这个集合的元素， 用aeM表示a是集合M的元素.用aEM表示a不是集合M的元素. 3集合的表示方法：一种是列举法：列举出它全部的元素， 一种是描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质. 设M是具有某些性质的全部元素所成的集合，就可写成 M=aa具有的性质}. 4空集：不包含任何元素的集合称为空集，记作⑦. 5集合相等：如果两个集合M与N含有完全相同的元素，即a∈M当且仅当 a∈N,那么它们就称为相等，记为M=N. 6子集：如果集合M的元素全是集合N的元素，即由a∈M可以推出a∈N, 那么M就称为N的子集合，记为McN或NoM. 7集合的交：设M和N是两个集合，既属于M又属于N的全体元素所成的 集合称为M与N的交，记为MnW. 8集合的并：属于集合M或者属于集合N的全体元素所成的集合称为M与 N的并，记为MUW 第1页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 第六章 线性空间 §1 集合·映射 一、集合 1 集合的定义: 所谓集合就是指作为整体看的一堆东西. 2 元素: 组成集合的东西称为这个集合的元素. 用 aM 表示 a 是集合 M 的元素.用 aM 表示 a 不是集合 M 的元素. 3 集合的表示方法: 一种是列举法：列举出它全部的元素， 一种是描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质. 设 M 是具有某些性质的全部元素所成的集合，就可写成 M = a | a具有的性质. 4 空集: 不包含任何元素的集合称为空集，记作 . 5 集合相等: 如果两个集合 M 与 N 含有完全相同的元素，即 aM 当且仅当 a N ，那么它们就称为相等，记为 M = N . 6 子集: 如果集合 M 的元素全是集合 N 的元素，即由 aM 可以推出 a N ， 那么 M 就称为 N 的子集合，记为 M N 或 N M . 7 集合的交: 设 M 和 N 是两个集合，既属于 M 又属于 N 的全体元素所成的 集合称为 M 与 N 的交，记为 M N . 8 集合的并: 属于集合 M 或者属于集合 N 的全体元素所成的集合称为 M 与 N 的并，记为 M N 第 1 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 9集合的差集：M-N={xx∈M,xEN 二、映射 1映射的定义 设M和M是两个集合，所谓集合M到集合M的一个映射就是指一个法 则，它使M中每一个元素a都有M中一个确定的元素d与之对应.如果映射。 使元素a∈M与元素a∈M对应，那么就记为 a(a)=a', d就为a在映射。下的像，而a称为d在映射。下的一个原像， M到M自身的映射，有时也称为M到自身的变换. 关于M到M的映射σ应注意： 1)M与M可以相同，也可以不同： 2)对于M中每个元素a,需要有M中一个唯一确定的元素a与它对应： 3)一般，M中元素不一定都是M中元素的像 4)M中不相同元素的像可能相同： 5)两个集合之间可以建立多个映射 2两个映射相等 集合M到集合M的两个映射o及r,若对M的每个元素a都有c(a)=r(a则 称它们相等，记作σ=t. 第2页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 9 集合的差集: M N x x M x N − = | , 二、映射 1 映射的定义 设 M 和 M 是两个集合，所谓集合 M 到集合 M 的一个映射就是指一个法 则，它使 M 中每一个元素 a 都有 M 中一个确定的元素 a 与之对应.如果映射 使元素 a M 与元素 aM 对应，那么就记为 (a) = a , a 就为 a 在映射 下的像，而 a 称为 a 在映射 下的一个原像. M 到 M 自身的映射，有时也称为 M 到自身的变换. 关于 M 到 M 的映射 应注意： 1） M 与 M 可以相同，也可以不同； 2）对于 M 中每个元素 a ，需要有 M 中一个唯一确定的元素 a 与它对应； 3）一般， M 中元素不一定都是 M 中元素的像； 4） M 中不相同元素的像可能相同； 5）两个集合之间可以建立多个映射. 2 两个映射相等 集合 M 到集合 M 的两个映射 及 ，若对 M 的每个元素 a 都有 (a) = (a) 则 称它们相等，记作 = . 第 2 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 例1M是全体整数的集合，M是全体偶数的集合，定义 a(n)=2n,ne M, 这是M到M的一个映射. 例2M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义 G(A)A|,A∈M. 这是M到P的一个映射. 例3M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义 G2(a)=aE,aeP. E是n级单位矩阵，这是P到M的一个映射. 例4对于∫x)eP[],定义 a(f(x))=f(x) 这是P[]到自身的一个映射 例5设M,Mr是两个非空的集合，a,是M中一个固定的元素，定义 a(a)=a,a∈M. 这是M到M的一个映射. 例6设M是一个集合，定义 a(a)=a,aeM. 即σ把M的每个元素都映到它自身，称为集合M的恒等映射 或单位映射，记为1w 第3页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 例 1 M 是全体整数的集合， M 是全体偶数的集合，定义 (n) = 2n, n M , 这是 M 到 M 的一个映射. 例 2 M 是数域 P 上全体 n 级矩阵的集合，定义 1 ( ) | |, A A A M = . 这是 M 到 P 的一个映射. 例 3 M 是数域 P 上全体 n 级矩阵的集合，定义 2 ( ) , a aE a P = . E 是 n 级单位矩阵，这是 P 到 M 的一个映射. 例 4 对于 f x P x ( ) [ ] ,定义 ( f (x)) = f (x) 这是 P x[ ] 到自身的一个映射. 例 5 设 M ，M 是两个非空的集合， 0 a 是 M 中一个固定的元素，定义 (a) = a0 ,a M . 这是 M 到 M 的一个映射. 例 6 设 M 是一个集合，定义 (a) = a ,a M . 即 把 M 的每个元素都映到它自身，称为集合 M 的恒等映射 或单位映射，记为 M1 . 第 3 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 例7任意一个定义在全体实数上的函数 y=(x) 都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形. 3映射乘法， 设。及：分别是集合M到M,Mr到M"的映射，乘积o定义为 (roXa)=r(a(a)),aEM, 即相继施行。和x的结果，o是M到M"的一个映射 对于集合集合M到M'的任何一个映射σ显然都有 lyo=oly =G. 映射的乘法适合结合律.设。，r,w分别是集合M到M,M到M", M"到M"的映射，映射乘法的结合律就是 (wt)o=v(ra) 4映上的，1-1的，双射 设g是集合M到M的一个映射，用o(M) 代表M在映射σ下像的全体，称为M在映射σ下的像集合.显然 o(M)cM'. 如果o(M0=M',映射σ称为映上的或满射 如果在映射。下，M中不同元素的像也一定不同，即由a≠a,一定有 o(a)≠c(a,),那么映射。就称为1-1的或单射. 一个映射如果既是单射又是满射就称1-1对应或双射 第4页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 例 7 任意一个定义在全体实数上的函数 y = f (x) 都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形. 3 映射乘法, 设 及 分别是集合 M 到 M ，M 到 M 的映射，乘积 定义为 ( )(a) = ( (a)) ,a M , 即相继施行 和 的结果， 是 M 到 M 的一个映射. 对于集合集合 M 到 M 的任何一个映射 显然都有 1M =1M = . 映射的乘法适合结合律.设 , , 分别是集合 M 到 M ，M 到 M ， M 到 M 的映射，映射乘法的结合律就是 () = ( ). 4 映上的,1−1 的, 双射 设 是集合 M 到 M 的一个映射，用 (M ) 代表 M 在映射 下像的全体，称为 M 在映射 下的像集合.显然 (M ) M . 如果 (M ) = M ，映射 称为映上的或满射. 如果在映射 下， M 中不同元素的像也一定不同，即由 a1 a2 一定有 ( ) ( ) a1 a2 , 那么映射 就称为 1−1 的或单射. 一个映射如果既是单射又是满射就称 1−1 对应或双射. 第 4 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 5逆映射 对于M到M的双射。可以自然地定义它的逆映射，记为。.因为。为满 射，所以M中每个元素都有原像，又因为。是单射，所以每个元素只有一个 原像，定义 o(a)=a,当o(a)=d. 显然，σ是M到M的一个双射，并且 a"a=l,oo=l. 不难证明，如果。，r分别是M到M,M'到M"的双射，那么乘积xo就是M 到M”的一个双射. 练习：P273:1,2 第5页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 5 逆映射 对于 M 到 M 的双射 可以自然地定义它的逆映射，记为 −1 .因为 为满 射，所以 M 中每个元素都有原像，又因为 是单射，所以每个元素只有一个 原像，定义 a = a a = a − ( ) , ( ) 1 当 . 显然， −1 是 M 到 M 的一个双射，并且 M M − − =1 , =1 1 1 . 不难证明，如果 , 分别是 M 到 M ，M 到 M 的双射，那么乘积 就是 M 到 M 的一个双射. 练习：P273 ：1，2 第 5 页