第七部分线性变换 习题精解 1,判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1)在线性空间V中，A5=5+a,其中a∈V是一固定的向量： 2)在线性空间V中，A5=a其中a∈V是一固定的向量： 3)在p3中，A,x2,)=(x,x2+x3x) 4)在p3中，A(3,x,x)=(2x-x2x+x) 5)在P[x]中，A/)=fx+I) 6)在Px]中，A)=fxo以其中xeP是一固定的数： 7)把复数域上看作复数域上的线性空间，A5= 8)在P"中，AX=BXC其中B,C∈P是两个固定的矩阵 解1)当a=0时是；当a≠0时，不是 2)当=0时，是：当a≠0时，不是. 3)不是.例如当a=(1,0.0),k=2时，kA(a)=(20.0),A(k)=(4,0.0). A(ka)≠kA(a). 4)是.因取a=(x,x2,xbB=(0,2,),有 A(C+)=A(x1+y,x2+y2,x3+y3) =(2x1+2y-x2-2,x2+y3+3+y3,x1+月) =(2x-x2,x2+x3,x)+(2y-y2,y2+3,乃) =Aa+AB A(ka)=A(kx,kx,kx) =(2kx-kx2,kx2+kx,kx =(2kxkx kx+kx;kx) kA(a) 故A是P3上的线性变换」 5)是因任取f(x)∈P[x],g(x)∈PLx,并令 (x)=f(x)+g(x)则 A(f(x)+g(x)=Au(x)=(x+1)=f(x+1)+g(x+1)=Af(x)+A(g(x) 再令v(x)=kf(x)则A(kf(x)=A(v(x)=v(x+1)=f(x+I)=kA(f(x)》 故A为P[x]上的线性变换 6)是.因任取f(x)∈P[x],g(x)∈P[x则. A(f(x)+g(x))=f(xo)+g(xo)=A(f(x))+A(g(x)) A(kf(x))=kf(x)=kA(f(x)) 7)不是.例如取F1,k=,则 A(ka)=-i,k(Aa)=i,A(ka)kA(a)
1 第七部分 线性变换 习题精解 1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1） 在线性空间 V 中，A = + ,其中 V 是一固定的向量； 2） 在线性空间 V 中，A = 其中 V 是一固定的向量； 3） 在 P 3 中，A ( , , ) ( , , ) 2 2 3 3 2 1 2 3 1 x x x = x x +x x ； 4） 在 P 3 中，A ( , , ) (2 , , ) 1 2 3 1 2 2 3 1 x x x = x − x x +x x ； 5） 在 P[ x ]中，A f (x) = f (x +1) 6） 在 P[ x ]中，A ( ) ( ), 0 f x = f x 其中 0 x P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A = 8） 在 P nn 中，AX=BXC 其中 B,C P nn 是两个固定的矩阵. 解 1)当 = 0 时,是;当 0 时,不是. 2)当 = 0 时,是;当 0 时,不是. 3)不是.例如当 = (1,0,0), k = 2 时, k A () = (2,0,0) , A (k) = (4,0,0) , A (k) k A( ) . 4)是.因取 ( , , ), ( , , ) 1 2 3 1 2 3 = x x x = y y y ,有 A ( + ) = A ( , , ) 1 1 2 2 3 3 x + y x + y x + y = (2 2 , , ) 1 1 2 2 2 2 3 3 1 1 x + y − x − y x + y + x + y x + y = (2 , , ) (2 , , ) 1 2 2 3 1 1 2 2 3 1 x − x x + x x + y − y y + y y = A + A A (k) = A ( , , ) 1 2 3 kx kx kx (2 , , ) (2 , , ) 1 2 2 3 1 1 2 2 3 1 kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx = − + = − + = k A () 故 A 是 P 3 上的线性变换. 5) 是.因任取 f (x) P[x], g(x) P[x],并令 u(x) = f (x) + g(x) 则 A ( f (x) + g(x))= A u(x) = u(x +1) = f (x +1) + g(x +1) =A f (x) + A (g(x)) 再令 v(x) = kf (x) 则 A (kf (x)) = A (v(x)) = v(x +1) = kf (x +1) = k A ( f (x)) 故 A 为 P[x] 上的线性变换. 6)是.因任取 f (x) P[x], g(x) P[x] 则. A ( f (x) + g(x))= 0 f (x 0 ) + g(x ) = A ( f (x)) + A (g(x) ) A 0 (kf(x)) = kf(x ) = k A ( f (x)) 7)不是.例如取 a=1,k=I,则 A(ka)=-i , k(Aa)=i, A(ka) kA(a)
8)是因任取二矩阵X,Y∈Pmm,则 A(X+Y)=B(X+Y)C=BXC+BYC=AX+AY A(kX)=B(kX=k(BXC)=KAX 故A是P上的线性变换 2.在几何空间中，取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向o2方向旋转90度的变换， 以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换，以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的 变换证明： A=B=C=EAB+=B4 并检验(4B)2=A2B2是否成立 解任取一向量a(xy,则有 1)因为 Ma-(x.Zy). Aa(xz-y》 A2aky2 a-(xy.2) Ba=(z.y,-X). B2a(x,-☑ Ba-(-zy,x),Ba-(x.y,z) Ca=(-Y.x.z).Ca=(-x.-y.z) Ca=(y.-x.z).Ca=(x.yz) 所以 AB(a)=A(zy.-x)-(z.x.y) BA(a)=B(x,-z.y)=(y,-z-x) 所以 AB≠BA 3)因为 A2B2(a)=A2(-x.y-Z)=(-x.-yz) B2A2(a)=B2(x.-Y-Z)=(-x.-Yz) 所以 AB2=B2A 3)因为 (AB)*(a)=(AB)(AB(a))_=AB(z.x.y)=(y.z.x) A2B2(a=(y, 所以 (MB)2≠A2B2 3.在PIx中，Af(x)=f(x),Bfx)=xx) 证明ABB4E 证任取f(x)∈PI,则有 2
2 8)是.因任取二矩阵 X ,Y n n P ,则 A( X + Y) = B(X + Y)C = BXC + BYC = A X +A Y A(k X )= B(kX) = k(BXC) = k A X 故 A 是 n n P 上的线性变换. 2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换, 以 B 表示绕 oy 轴向 ox 方向旋转 90 度的变换,以 C 表示绕 oz 轴由 ox 向 oy 方向旋转 90 度的 变换.证明: A 4 =B 4 =C 4 =E,AB BA,A 2 B 2 =B 2 A 2 并检验(AB) 2 =A 2 B 2 是否成立. 解 任取一向量 a=(x,y,z),则有 1) 因为 Aa=(x,-z,y), A 2 a=(x,-y,-z) A 3 a=(x,z,-y), A 4 a=(x,y,z) Ba=(z,y,-x), B 2 a=(-x,y,-z) B 3 a=(-z,y,x), B 4 a=(x,y,z) Ca=(-y,x,z), C 2 a=(-x,-y,z) C 3 a=(y,-x,z), C 4 a=(x,y,z) 所以 A 4 =B 4 =C 4 =E 2) 因为 AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y) BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x) 所以 AB BA 3)因为 A 2 B 2 (a)=A 2 (-x,y,-z)=(-x,-y,z) B 2 A 2 (a)=B 2 (x,-y,-z)=(-x,-y,z) 所以 A 2 B 2 =B 2 A 2 3) 因为 (AB) 2 (a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x) A 2 B 2 (a)=(-x,-y,z) 所以 (AB) 2 A 2 B 2 3.在 P[x] 中,A ' f (x) = f (x), B f (x) = xf (x) 证明:AB-BA=E 证 任取 f (x) P[x],则有
(AB-BA)f(x)=ABf(x)-BAf(x)=A(xf(x))-B(f(x))=f(x)+xf(x)-xf(x)=f(x) 所以 AB-BA-E 4,设A,B是线性变换，如果ABB4=E,证明： A*B-BA*=kA-(k>1) 证采用数学归纳法 当k=2时 A:B-BA=(A:B-ABA)+(ABA-BA-)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2A 结论成立 归纳假设k=m时结论成立，即ABBA=mA.则当k=m+1时，有 AB-BA(AB-A"BA)+(A"BA-BA)=A"(AB-B4)+(A"B-BA")4=A"E+mA =A仁(m+)A 即k=m+1时结论成立故对一切k>1结论成立 5.证明可逆变换是双射 证设A是可逆变换，它的逆变换为A 若a≠b,则必有A≠Ab,不然设A=Ab,两边左乘A1,有a=b,这与条件矛盾 其次，对任一向量b,必有a使Aa=b,事实上，令Ab=a即可 因此A是一个双射 6.设6,62，6，是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。证明：A是可逆变换当且 仅当A6M62,1En线性无关 证因 A8,62,.,6n）=(A81,A82,.,4En）=(6,62,.,6n4 故A可逆的充要条件是矩阵A可逆，而矩阵A可逆的充要条件是A6A82,A5n线性无关 故A可逆的充要条件是A6182,4n线性无关 7求下列线性变换在所指定基下的矩阵： 1)第1题4)中变换A在基￡(1,0,0)，62=(01,0,6，=(0.0,1)下的矩阵 2)[0,6,62]是平面上一直角坐标系，A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂 直投影，B是平面上的向量对6，的垂直投影，求A,B,AB在基6,62下的矩阵； 3
3 (AB-BA) f (x) =AB f (x) -BA f (x) =A( xf (x)) -B( ' f (x)) = ; f (x) + xf (x) - ' xf (x) = f (x) 所以 AB-BA=E 4.设 A,B 是线性变换,如果 AB-BA=E,证明: A k B-BA k = k A k−1 (k>1) 证 采用数学归纳法. 当 k=2 时 A 2 B-BA 2 =(A 2 B-ABA)+(ABA-BA 2 )=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2A 结论成立. 归纳假设 k = m 时结论成立,即 A m B-BA m =m A m−1 .则当 k = m +1 时,有 A m+1 B-BA m+1 =(A m+1 B-A m BA)+(A m BA-BA m+1 )=A m (AB-BA)+(A m B-BA m )A=A m E+ m A m−1 A= (m +1) A m 即 k = m +1 时结论成立.故对一切 k 1 结论成立. 5.证明:可逆变换是双射. 证 设 A 是可逆变换,它的逆变换为 A −1 . 若 a b ,则必有 Aa Ab,不然设 Aa=Ab,两边左乘 A −1 ,有 a=b,这与条件矛盾. 其次,对任一向量 b,必有 a 使 Aa=b,事实上,令 A −1 b=a 即可. 因此,A 是一个双射. 6.设 1 , 2 ,, n 是线性空间 V 的一组基，A 是 V 上的线性变换。证明：A 是可逆变换当且 仅当 A 1 ,A 2 , ,A n 线性无关. 证 因 A( 1 , 2 ,, n )=(A 1 ,A 2 , ,A n )=( 1 , 2 ,, n )A 故A可逆的充要条件是矩阵A可逆,而矩阵A可逆的充要条件是A 1 ,A 2 , ,A n 线性无关. 故 A 可逆的充要条件是 A 1 ,A 2 , ,A n 线性无关. 7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵: 1) 第 1 题 4)中变换 A 在基 1 =(1,0,0), 2 =(0,1,0), 3 =(0,0,1)下的矩阵; 2) [o; 1 , 2 ]是平面上一直角坐标系,A 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂 直投影,B 是平面上的向量对 2 的垂直投影,求 A,B,AB 在基 1 , 2 下的矩阵;
3)在空间PNn中，设变换A为fx)→fx+1)-f(x) 试求A在基6，x-)(-i+0月(e1,2m-) 下的矩阵A 4)六个函数E,=e“cosbx,6,=e"sin bx ;=xe cosbx,E=xesin bx 名re“aw饭“rmr 的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间，求微分变换D在基，(1,2.，6)下的 矩阵： (101 5)已知p3中线性变换A在基n=(-1,11),72=(1,0-1,7,=01,)下的矩阵是110 (-121 求A在基8，(1,0,0)，62(0,1,0)，6,0,0,1)下的矩阵： 6在P中A定义如下 「An.=(-5,0,3) Ah=(0,-1,6) An3-(-5,-1,9) 其中 [7,=(-1,0,2) h=(0,11) 7=(3,-1,0) 求在基6(1,00,62=0,1,0,60,0,1)下的矩阵： 7)同上，求A在,2,下的矩阵 解1)A6,=(20,1)=26+83
4 3) 在空间 P[x] n 中,设变换 A 为 f (x) → f (x +1) − f (x) 试求 A 在基 i = ! 1 ( 1) ( 1) i x x − x − i + (I=1,2, ,n-1) 下的矩阵 A; 4) 六个函数 1 =e ax cos bx , 2 =e ax sin bx 3 = x e ax cos bx , 4 = x e ax sin bx 1 = 2 2 1 x e ax cos bx , 1 = 2 1 e ax 2 x sin bx 的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间,求微分变换D在基 i (i=1,2, ,6)下的 矩阵; 5) 已知P 3 中线性变换A在基 1 =(-1,1,1), 2 =(1,0,-1), 3 =(0,1,1)下的矩阵是 −1 2 1 1 1 0 1 0 1 求 A 在基 1 =(1,0,0), 2 =(0,1,0), 3 =(0,0,1)下的矩阵; 6) 在 P 3 中,A 定义如下: = − − = − = − ( 5, 1,9) (0, 1,6) ( 5,0,3) 3 2 1 A A A 其中 = − = = − (3, 1,0) (0,1,1) ( 1,0,2) 3 2 1 求在基 1 =(1,0,0), 2 =(0,1,0), 3 =(0,0,1)下的矩阵; 7) 同上,求 A 在 1 ,2 , 3 下的矩阵. 解 1) A 1 =(2,0,1)=2 1 + 3
A6,-l,1,0F-6+6 A6-0,1,0FE2 2-10 故在基6,62,63下的矩阵为011 100 2》取G,06=01D期43号4 1 故A在基6,62下的矩阵为A 咽为B后0，B8,-8所以B在基66，下的矩阵为0 ,另外，(4B)62=A (B,)46,-25+36 所以AB在基6,6，下的矩阵为A 02) 3》因为6=l5=x6=-,61-r-a-2到 21 (n-1) ,所以A6。=1-1=-0 A8,=(x+)-x=8o 46=K-1x-r=m-3刃_x-0.K-a-2y (n-101 .xx-x-m-3刃x+1-x-(m-29 (n-1)1 =6n
5 A 2 =(-1,1,0)=- 1 + 2 A 3 =(0,1,0)= 2 故在基 1 , 2 ， 3 下的矩阵为 − 1 0 0 0 1 1 2 1 0 2）取 1 =（1，0）， 2 =（0，1）则 A 1 = 2 1 1 + 2 1 2 ， A 2 = 2 1 1 + 2 1 2 故 A 在基 1 ， 2 下的矩阵为 A= 2 1 2 1 2 1 2 1 又因为 B 1 =0，B 2 = 2 所以 B 在基 1 ， 2 下的矩阵为 B= 0 1 0 0 ，另外，（AB） 2 =A （B 2 ）=A 2 = 2 1 1 + 2 1 2 所以 AB 在基 1 ， 2 下的矩阵为 AB= 2 1 0 2 1 0 ， 3）因为 ( 1)! ( 1) [ ( 2)] , , 2! ( 1) 1, , 0 1 2 1 − − − − = − = = = − n x x x x x n x n ，所以 A 0 = 1−1 = 0 A 1 0 = (x +1) − x = A ( 1)! ( 1) [ ( 2)] ( 1)! ( 1) [ ( 3)] 1 − − − − − − − − − − = n x x x n n x x x n n = ( 1)! ( 1) [ ( 3)] − − − − n x x x n { (x +1) −[x − (n − 2)] } = n−2