山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 第五章二次型 5.1二次型及其矩阵表示
第五章 二次型 5.1 二次型及其矩阵表示
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二次型的问题起源于将二次曲线或二次曲面的一 般方程化为标准方程. 坐标旋转 0 ax2 +2bxy cy2 f a'x'2+b'y2 =f x=x'cosθ-y'sin0 y=x'sine +y'cos
二次型的问题起源于将二次曲线或二次曲面的一 般方程化为标准方程. 𝑥 𝑦 𝑜 ቊ 𝑥 = 𝑥 ′ cos 𝜃 − 𝑦’ sin 𝜃 𝑦 = 𝑥 ′ sin 𝜃 + 𝑦 ′ cos 𝜃 𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥𝑦 + 𝑐𝑦2 = 𝑓 𝑥 ′ 𝑦 ′ 𝑜 𝑎 ′𝑥 ′2 + 𝑏 ′𝑦 ′2 = 𝑓 坐标旋转 𝑥 𝑦 𝜃
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定义设P是一个数域，系数在数域P上的关于变量 X1,X2,.,Xn的二次齐次多项式 f(x1,X2,.,xn)=a11x+2a12X1X2+.+2a1nx1xn +a22x3+2a23x2x3+.+2a2nx2xn +.+annx2 称为数域P上的几元二次型，简称为二次型
定义 设𝑃是一个数域，系数在数域𝑃上的关于变量 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛的二次齐次多项式 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛)=𝑎11𝑥1 2 + 2𝑎12𝑥1𝑥2 + ⋯ + 2𝑎1𝑛𝑥1𝑥𝑛 +𝑎22𝑥2 2 + 2𝑎23𝑥2𝑥3 + ⋯ + 2𝑎2𝑛𝑥2𝑥𝑛 +⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 2 称为数域𝑃上的𝑛元二次型，简称为二次型
山求濯工大深 例1x+x1x2+3x1X3+2x2+4x2X3+x3是 有理数域上的一个3元二次型。 ·只含有平方项的二次型称为标准形
例1 𝑥1 2 + 𝑥1𝑥2 + 3𝑥1𝑥3 + 2𝑥2 2 + 4𝑥2𝑥3 + 𝑥3 2是 有理数域上的一个3元二次型。 • 只含有平方项的二次型称为标准形
G 山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY >系数为什么要写成2倍的？ 令a=aji,(i<),由于xx=x,所以二次型可以写成 f(x1,X2,.,xn)=a11x经+a12x1x2+.+a1n2x12xn +a21x2X1+a22x++aznx2Xn 十. +anixnx1+an2xnx2++annxi nn -∑∑ ijXiXj i=1j=1
➢系数为什么要写成2倍的？ 令𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖， 𝑖 < 𝑗 ，由于𝑥𝑖𝑥𝑗 = 𝑥𝑗𝑥𝑖，所以二次型可以写成 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛)=𝑎11𝑥1 2 + 𝑎12𝑥1𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥1𝑥𝑛 +𝑎21𝑥2𝑥1 + 𝑎22𝑥2 2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥2𝑥𝑛 + ⋯ +𝑎𝑛1𝑥𝑛𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥𝑛𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 2 = 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 𝑛 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗