第三节 第八章 平面及其方程 一、曲面方程与空间曲线的概念 二、平面的点法式方程 三、平面的一般方程 四、两平面的夹角 HIGH EDUCATION PRESS DeOC8 机动目录上页下页返回结束
第三节 二、平面的点法式方程 三、平面的一般方程 四、两平面的夹角 机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面及其方程 第八章 一、曲面方程与空间曲线的概念
曲面方程与空间曲线的概念 定义1.如果曲面S与方程F(x,yz)=0有下述关系： (1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程， (2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程 则F(x,yz)=0叫做曲面S的方程 F(x,y,2)=0 曲面S叫做方程F(x,yz)=0的图形 空间曲线可视为两曲面的交线 F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 上页下页返回结束
一、曲面方程与空间曲线的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义1. F(x, y,z) = 0 S z y x o 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 空间曲线可视为两曲面的交线, S2 L 1 S
二、平面的点法式方程 设一平面通过已知点Mo(x,y%,二，)且垂直于非零向 量n=(A,B,C),求该平面Π的方程 任取点M(x,y,z)eΠ，则有 MoM⊥n 故 MoM.n=0 MoM=(x-x0,y-y0,2-20) A(x-xo)+B(y-y%)+C(2-2o)=0 称①式为平面Π的点法式方程，称为平面Ⅱ的法向量. HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
z y x o M0 n ① 二、平面的点法式方程 ( , , ) 0 0 0 0 设一平面通过已知点 M x y z 且垂直于非零向 A(x − x0 ) + B(y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0 M 称①式为平面的点法式方程, 求该平面的方程. 任取点M (x, y,z), 法向量. 量 n = (A , B, C), M0M ⊥n M0M n = 0 则有 故 称 n为平面 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.求过三点M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2),M3(0,2,3) 的平面Π的方程 解：取该平面Π的法向量为 n=MM2×MM3 M M3 -34 -6 M2 -23-1 =(14,9,-1) 又M,∈，利用点法式得平面Π的方程 14(x-2)+9y+1)-(2-4)=0 即 14x+9y-z-15=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
i j k = 例2.求过三点 , 又M1 = (14, 9, −1) 即 M1 M2 M3 解: 取该平面 的法向量为 的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程 − 3 4 − 6 − 2 3 −1 n n = M1M2 M1M3 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明：此平面的三点式方程也可写成 x-2y+1z-4 - 4 -6 =0 -2 3 般情况：过三点Mk(xk,y%,2k)(k=1,2,3) 的平面方程为 x-X1 y-y 2-21 x2-x1y2-y1 22-21 =0 x3-X1 3-123-1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
此平面的三点式方程也可写成 0 2 3 1 3 4 6 = − − − − x − 2 y +1 z − 4 一般情况 : 过三点 M (x , y ,z ) (k =1,2,3) k k k k 的平面方程为 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束