第九章 第二节 偏导数 偏导数概念及其计算 二、高阶偏导数 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数 偏 导 数 第九章
一、 偏导数定义及其计算法 引例：研究弦在点x处的振动速度与加速度，就是 将振幅u(x,t)中的x固定于xo处，求u(xo,t)关于1的 一阶导数与二阶导数 u(xo,1） u(x,t） HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、 偏导数定义及其计算法 引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 u(x, t) 0 o x x u 中的 x 固定于 求 一阶导数与二阶导数. x0 处, ( , ) 0 u x t 关于 t 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 将振幅
定义1.设函数z=f(x,y)在点(x0,yo)的某邻域内 极限 lim f(x+△x,0)-f(xo,y0) △x>0 △x 存在，则称此极限为函数：=f(x,y)在点(xo,o)对x 的偏导数，记为 of 0x(oo)》”0xx0yo)2xw) fx(xo,yo);(xo-yo). 注意：f(o,0)=1im= f(xo +Ax,yo)=f(xo,yo) △x→0 △x ,o) d HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定义1. z = f (x, y) 在点 存在, z f (x, y) 在点(x , y ) 对x = 0 0 的偏导数，记为 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内 ; ( , ) 0 0 x x y f x + x 0 0 x 则称此极限为函数 极限 设函数 f (x0 ) = ( ) ( ) 0 0 f x + x − f x x 0 lim x→ x ; ( , ) 0 0 x x y z d 0 d x x x y = = ( , ). 1 0 0 f x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x f x x y f x y x + − = → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 ( , ) 0 0 f x y 注意 x :
同样可定义对y的偏导数 f(o.0)lim f(o.)-f(o.Yo) △y>0 △y 若函数：=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x 或y偏导数存在，则该偏导数称为偏导函数，也简称为 偏导数，记为 .,x,fc) Ox'Ox 0z ,f,川.，川 Oy'Oy HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
同样可定义对 y 的偏导数 lim →0 = y ( , ) 0 0 f x y y 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , ( , ) , ( , ) 2 f x y f x y y ( , ) 0 f x ( , ) 0 − f x y 记为 y + y 0 0 y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 y 偏导数存在 , , , , y z y f y z
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 例如，三元函数u=f(x,y,)在点(x,y,)处对x的 偏导数定义为 (y2)lim (x+Ax)-f(x,y,=) △x->0 △x f(xy,)=? (请自己写出) f(x,y,z)=? HIGH EDUCATION PRESS ◆0C08 机动目录上页下页返回结束
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . x x + x f (x, y,z) = ? y f (x, y,z) = ? z x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数定义为 (请自己写出)