高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 例1试证函数f(x)=xSx,x≠0,在x=0 处连续 证: lim x sin-=0, 0 又f(0)=0,limf(x)=f(0 x→>0 由定义2知 函数∫(x)在x=0处连续 H tt p /www.heut.edu
例1 . 0 0, 0, , 0, 1 sin ( ) 处连续 试证函数 在 = = = x x x x x f x 证 0, 1 lim sin 0 = → x x x 又 f (0) = 0, 由定义2知 函数 f (x)在x = 0处连续. lim ( ) (0), 0 f x f x = →
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 3.单侧连续 若函数f(x)在(a,x0内有定义,且f(x0-0)=f(x), 则称f(x)在点x0处左连续; 若函数f(x)在x0,b)内有定义,且f(x+0)=f(x0), 则称f(x)在点x处右连续 定理 函数f(x)在x处连续兮是函数f(x)在x0 处既左连续又右连续 H tt p /www.heut.edu
( ) ; ( ) ( , ] , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处左连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x a x f x − = f x 定理 . ( ) ( ) 0 0 处既左连续又右连续 函 数 f x 在 x 处连续 是函数 f x 在 x ( ) . ( ) [ , ) , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处右连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x x b f x + = f x 3.单侧连续
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 例2讨论函数∫(x) x+2,x≥0 在x=0处的 x-2,x<0 连续性 Ri lim f(x)=lim(x+2)=2=f(O) limf(x)=lim(x-2)=-2≠∫(0), 右连续但不左连续, 故函数∫(x)在点x=0处不连续 H tt p: //
例2 . 0 2, 0, 2, 0, ( ) 连续性 讨论函数 在 = 处 的 − + = x x x x x f x 解 lim ( ) lim( 2) 0 0 = + → + → + f x x x x = 2= f (0), lim ( ) lim( 2) 0 0 = − → − → − f x x x x = −2 f (0), 右连续但不左连续, 故函数 f (x)在点x = 0处不连续
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间 上的连续函数或者说函数在该区间上连续 如果函数在开区间(a,b)内连续并且在左端点 x=a处右连续在右端点x=b处左连续则称 函数f(x)在闭区间a,b上连续 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 例如:有理函数在区间(-∞+)内是连续的 H tt p /www.heut.edu
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间 上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. ( ) [ , ] . , , ( , ) , 函 数 在闭区间 上连续 处右连续 在右端点 处左连续 则 称 如果函数在开区间 内连续 并且在左端点 f x a b x a x b a b = = 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如: 有理函数在区间(−,+)内是连续的. 4. 连续函数与连续区间
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 例3证明函数y=sinx在区间(-∞,+内连续 证任取x∈(-0,+∞), △ △v y=sin(x+Ax)sin x= 2sin.cos(x+ 2 cos(x)s1,则Δ≤2sin 2 △2 对任意的α,当α≠0时,有sino<a 故△y≤2sin< 2 △x,∴当Ax→>0时,4→>0 即函数y=sinx对任意x∈(-∞,+∞)都是连续的 H tt p /www.heut.edu
例 3 证明函数 y = sin x在区间(−,+)内连续. 证 任取 x (−,+), y = sin( x + x) − sin x ) 2 cos( 2 2sin x x x + = ) 1 , 2 cos( + x x . 2 2sin x y 则 对任意的 ,当 0时, 有sin , , 2 2sin x x y 故 当x → 0时,y → 0. 即函数 y = sin x对任意x(− ,+ )都是连续的