复变数与 3.22幂级数的敛散性 定理36(Abl定理)若级数∑cnz"在x1≠0 H=0 处收敛,则当1<k时,级数∑cz绝对收敛; 么 n=0 变 若级数∑c"在2处发散,则当>k2时,级数 0 ∑ 发散
定理3.6 (Abel定理) 若级数 在 0 n n n c z = 1 z 0 处收敛，则当 时, 级数 绝对收敛; 0 n n n c z = z z 1 若级数 在 处发散，则当 时, 级数 0 n n n c z = 2 z 2 z z 0 n n n c z = 发散. 3.2.2 幂级数的敛散性
证明若级数∑cnz"收敛,则 limc.z,=0 n=0 复变函数与积兮变换 因而存在正数M,使得cn≤M(n=1,2,3, 当2<k时,记B=q(<1),于是 n M 由正项级数的比较判别法知,∑cz叫收敛,因此 级数∑cn绝对收敛其余的结论用反证法易得 =0
因而存在正数M, 使得 1 ( 1,2,3, ). n n c z M n = 当 z z 1 时, 记 ( ) 于是, 1 1 , z q q z = 1 1 . n n n n n n n z c z c z Mq z = 由正项级数的比较判别法知, 收敛, 因此 0 n n n c z = 证明 若级数 1 收敛, 则 0 n n n c z = 1 lim 0. n n n c z → = 级数 绝对收敛. 0 n n n c z = 其余的结论用反证法易得
复收敛圆与收敛半径 由Abe定理,幂级数∑cnz"收敛情况有三种: =0 变函数与积分变换 (1)对所有的正实数都收敛 级数在复平面内绝对收敛 分(2)对所有的正实数都发散 级数在复平面内除原点外处处发散 (3)既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收 敛的正实数. 设z=a时,级数收敛;z=β时,级数发散如图:
收敛圆与收敛半径 (1) 对所有的正实数都收敛. 级数在复平面内绝对收敛. (2) 对所有的正实数都发散. 级数在复平面内除原点外处处发散. (3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收 敛的正实数. 设 z = 时, 级数收敛; z = 时, 级数发散. 如图: 由 , 幂级数 收敛情况有三种: 0 n n n c z = 定理3.6 (Abel定理) 若级数 在 0 n n n c z = 1 z 0 处收敛，则当 时, 级数 绝对收敛; 0 n n n c z = z z 1 若级数 在 处发散，则当 时, 级数 0 n n n c z = 2 z 2 z z 0 n n n c z = 发散
复变函数与积兮变换 收敛圆 收敛半径 i BB a…… ⑦幂级数∑x的收敛范围是以原点为中心的圆域
x y o . . R 收敛圆 收敛半径 幂级数 n=0 n n c z 的收敛范围是以原点为中心的圆域. . 1 1
收敛半径根据前面所述的三种情形,分别 复变数与 规定为 0,R 因此,幂级数∑cn(z-z)的收敛范围是 =0 积以z=为中心的圆域 么 变间题:幂级数在收敛圆周上的敛散性如何? 换 事实上,幂级数在收敛圆周上敛散性的讨 论比较复杂,没有一般的结论,要对具体级数 进行具体分析
幂级数 0 0 ( )n n n c z z = 因此， − 的收敛范围是 事实上, 幂级数在收敛圆周上敛散性的讨 问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何? 以 z z = 0 为中心的圆域. 收敛半径根据前面所述的三种情形, 分别 规定为 +, 0, . R 论比较复杂, 没有一般的结论, 要对具体级数 进行具体分析